终端滑模控制(TSM)-Toy模板网

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终端滑模控制 (Terminal Silding Mode Contral, TSM)

在之前的文章中我们介绍了滑膜控制理论，我们是选取了一个滑模面，使系统达到滑模面后误差逐渐下降到0，收敛的速度可以通过调节滑膜面的参数来实现，后来人们为了使滑模控制能有更好的性能，就将滑模面设计为非线性函数，构造Terminal滑膜面，使得在滑模面上误差可以在指定时间T内收敛到0，于是就产生了终端滑膜。

终端滑模的滑模面

终端滑膜的滑膜面有很多种形式，这里我们介绍一种经典的滑模面
$s=\dot x+ \alpha x + \beta x ^ {\frac {q}{p}}$
其中 $x$ 是状态变量， $\alpha,\beta > 0$ ， $p, q$ 是正奇数，且 $q < p$ ，我们知道滑模控制有两个阶段，第一个阶段是到达阶段，这一阶段是指系统从初态到达 $s = 0$ 的滑模面上，第二阶段是滑模面上的滑动阶段，在滑动阶段 $s=0,\dot s=0$ ，在滑动阶段 $s = 0$ 所以 $\dot s = 0$ 。

如果我们将 $s = 0$ ，可以得到一个微分方程，虽然无法解出微分方程的解析解，但是可以通过仿真得到微分方程的数值解，数值解可以看到在滑模面上时必将在一定时间内收敛为0。

控制器设计

考虑二阶不确定非线性系统
$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f(x) + g(x)u + d(x) \end{cases}$
其中 $x = [x_1,x_2] ^ {T}$ ， $d (x)$ 代表不确定的外部干扰，且有 $\le D$ ，即干扰有上界

对于二阶系统我们可以将滑膜面设计为
$x_2 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}}$
其中， $\beta > 0$ , $p, q > 0$ 且为正奇数。对滑模面求导
$\begin {align} \dot s &= \dot x_2 + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{\dot x_1} \nonumber \\ &= \dot x_2 + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{x_2} \nonumber \\ &= f(x) + g(x)u + d(x) + \beta \frac {q} {p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}{x_2} \nonumber \\ &= -\varepsilon sgn(s) \nonumber \end{align}$
反解得到控制量 $u$ 可得
$-g^{-1}(x)(f(x)+\beta \frac{q}{p} x_1^{\frac {q} {p} - 1}x_2 + (D+\varepsilon)sgn(x))$
稳定性分析，设李雅普诺夫函数 $\frac {1} {2} s^2$ ，所以有 $\dot V = s \dot s$ ，将 $u$ 带入可得
$\dot V = sd(x) - (D+\varepsilon)|s| \le -\varepsilon |s|$
所以此控制器可以稳定。

有限时间收敛证明

$\begin{align} s &= 0 \nonumber \\ x_2 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} &= 0 \nonumber \\ \dot x_1 + \beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} &= 0 \nonumber \\ \frac{\text d x_1}{\text d t} &= -\beta x_1 ^ {\frac {q} {p}} \nonumber \\ \frac{\text d t}{\text d x_1} &= -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} \nonumber \\ {\text d t} &= -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} {\text d x_1} \nonumber \\ \int_{0}^{t} {\text d t} &= \int_{x_0}^{0} -\frac {1} {\beta} x_1 ^ {- \frac {q} {p}} {\text d x_1}\nonumber \\ \end{align}$

可以得到从任意初始状态 $\ne 0$ 出发沿着滑模面到 $x = 0$ 的时间为：
$t_s = \frac {p} {\beta (p-q)}|x_1(0)| ^ {(p-q)/p}$

实例

假设系统模型为如下的一阶系统
$\dot x = 2x + x^2 +u$
选定滑模面
$\dot x + x + x ^{\frac {1} {3}}$
令 $s = 0$
$0=\dot x + 2x + x ^{\frac {1} {3}} = 2x + x^2+u+ x + x ^{\frac {1} {3}} = x^2+3x+x ^{\frac {1} {3}}+u$
得到控制量
$-x^2-3x-x ^{\frac {1} {3}}$

奇异性问题

我们知道滑模控制有两个阶段，但是上述的滑模面的设计存在一个严重的缺陷，存在奇异问题，奇异主要出现在 ${\frac {q} {p}}$ 这一项，我们对滑膜面进行求导，可以得到
$\dot s = \ddot x + \alpha \dot x + \beta \frac {q} {p} x ^ {\frac {q} {p} - 1}$
在之前的设计中保证了 $q < p$ 所以 $\frac {q} {p} - 1 < 0$ ，当出现 $x = 0$ 时，分母就会为0(倒数原因)，就会出现奇异问题(函数在某点未定义)，因此在使用这种滑模面设计终端滑膜控制时，不可以设计 $\dot s$ ，即不能设计到达阶段，因此这种滑膜只适合用于一阶系统文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-440097.html