单源最短路径(spfa,Dijkstra, bellman-ford)

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目录

 Dijkstra

原理:基于贪心。

为什么 Dijkstra 不能处理有负边的情况

Bellman-ford

原理:动态规划, 实质见floyd的另一篇博客

1,能找负环,

2,有变数限制的最短路径

spfa

原理

spfa怎么求负环,


单源最短路径(spfa,Dijkstra, bellman-ford)

 Dijkstra

原理:基于贪心。

第一步

初始化距离,dist[1] = 0, 一号点到起点的距离为0, 其他点到起始点的距离为正无穷 INF。

第二步

是一个迭代的过程for循环n次 i 从0到n , 现有一个集合S,S里存所有当前已确定最短距离的点,每次循环找到不在S中距离最近的点t,将 t 加入S中。

第三步

用t来更新其他点的距离,更新的方式,从t出去的所有的边,他组成的路劲能不能更强其他点的距离,假设 t 能走到 x ,看当前一号点到 x 的距离能不能用 t 到 x 的距离更新

                          1 ------> t ----->x        实则看 dist[x] > dist[t] + w[t][x] ( t 到 x 的权重)

每次迭代即循环就能确定一个点的最短距离循环n次确定n个点的最短距离,就能确定每个点到起点的最短距离。

int dijkstra()
{
    // 初始化, 一号点到起点的距离为0, 其他点到起点的距离为正无穷
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); 
    dist[1] = 0;
    for(int i = 0; i < n -1; i ++) // n - 1迭代
    {
        int t = -1;
            // 找到未加到 st 集合的最短距离
            for(int j = 1; j <= n ; j ++)
                if( !st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]) )
                    t = j;
            // 将t点加入到集合
                    st[t] = true;
             // 更新从t出去的所有的边,他组成的路劲能不能更强其他点的距离
                    for(int j = 1; j <= n; j++)
                    dist[j] = min(dist[j], dist[t] + w[t][j]); 
    }
}

为什么 Dijkstra 不能处理有负边的情况

Dijkstra算法的3个步骤

1、找到当前未标识的且离源点最近的点t
2、对t号点点进行标识
3、用t号点更新其他点的距离
反例

        单源最短路径(spfa,Dijkstra, bellman-ford)

结果:

dijkstra算法在图中走出来的最短路径是1 -> 2 -> 4 -> 5,算出 1 号点到 5 号点的最短距离是2 + 2 + 1 = 5,然而还存在一条路径是1 -> 3 -> 4 -> 5,该路径的长度是5 + (-2) + 1 = 4,因此 dijkstra 算法失效

 

Bellman-ford

原理:动态规划, 实质见floyd的另一篇博客

能处理还有负权边,

1.迭代 n 次 k从 1 到n, 

每次循环所有边  a, b,w,存在一条从a 到 b的边权重为w,

遍历的时候更新,dist[b] = min(dist[b], dist[a] + w),

看一号点走到a在从a 走到b这条路径,比一号点直接走到b的路径短,如果短,将b的路劲更新,

两重循环第一次循环N次,第二重循环,循环所有边,每次循环更新所有边。

bellman - ford算法的具体步骤
for n次
for 所有边 a,b,w (松弛操作)
dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

bellman-ford 证明了所有边的距离一定满足, dist[b] <= dist[a] + w[a][b], (三角不等式)

更新的过程叫松弛操作

迭代具有实际的含义,比如当前迭代K次,则迭代k次之后的dist数组含义为。

从一号点经过不超过K条边走到每个点 的最短距离,

在迭代的时候在第N次时又进行了更新,说明存在一条最短路径,他的最短路径上边的个数大于等于n, 如果一个路径上有n条边,说明有n + 1个点,1到n只有n个点,由抽屉原理,就一定有两个点编号一样,说路径一定存在环,由于这个环更新过所以为负环。

所以,bellman-ford 能找负环,但一般找负环用spfa。

bellman-ford 

1,能找负环,

2,有变数限制的最短路径

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++ )
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);
        }
    }
}

spfa

原理

spfa实质是对, bellman-ford进行优化,bellnman-ford每次迭代遍历所有边来更新,但每次迭代不一定每条边都会更新,这个不等式 dist[b] = min ( dist[b] , dist[a] + w[a][b])不一定会把,dist[b]变小,spfa对其优化,

我们每次迭代可以看如果dist[b]想在当次迭代变小,一定是dist[a]变小,因为如果,dist[a]不变小

dist[b]一定不变小,只有a变小,b才可能变小,

dist[b] = min(dist[b], dist[a] + w[a][b])

用宽搜做优化, 迭代的时候用队列,先把起点放入,然后只要队列不空,队列里就是每次变小的结点,只要一个结点变小就放入队列,用他来更新一下所有的后继,比如t结点变小,加入队列,然后用t更新所有以t为起点的边,如果变小在加入队列,加入之前进行判断,如果队列里已经有,就不用在加入,只要队列不空,只要队列里还有结点变小,就进行迭代,

基本思路,更新过谁,再拿谁来更新别人,一个点如果没有更新过在拿这个点来更新别人是肯定没有效果的,只有我变小了,那么我后面的人才会变小。

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

 
}

spfa怎么求负环,

求负环思路与bellman-ford的思路一样运用抽屉原理,在更新dist数组的时候,dist[x],表示的是当前一号点到x点的最短路径的长度,然后记录cnt[]数组,表示当前最短路的边数,每一次更新dist的时候dist[x] =dist[t] + w[t],也更新cnt[t] + 1,更新了dist[x]说明,从一号点到x的距离大于一号点到t的距离加上t到x的距离,所以当前点x的最短路的边数等与t的对短路的变数加1,同时维护两个数组,

如果说某次的维护cnt[x]的变数大于等n,就意味这,从1到X至少经过了n条边,经过了n条边就说明了经过了n+ 1个点,由抽屉原理只有n个点一定有两个点的值是相同 的有负环,文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-440346.html

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