SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

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       奇异值分解(singular value decomposition,SVD),已经成为矩阵计算中最有用和最有效的工具之一,并且在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域得到广泛应用。

        首先我们都知道方阵是可以特征值分解的,那么问题来了,如果矩阵不是一个方阵那么它还可以分解吗?是可以的,就是我们正在介绍的奇异值分解。

那么,开冲!

SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

下面介绍方法,记住任何一个矩阵A都可以分解成以下形式(别问为什么,我看了证明的,头大,太难了)

 SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解  

 注:U和V都是酉矩阵,即满足SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

求法如下

U是SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征向量张成的一个矩阵

V是SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征向量张成的一个矩阵

SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解或者SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征值的平方根

下面进行一个证明

SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

注:SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征值是一样的

好了,SVD分解就是这么简单,一般就两步

第一步:求SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征向量(构成的矩阵就是V)和特征值(默认由大到小排列,然后要求根号)

第二步:求SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解的特征向量(构成的矩阵就是U)

下面进行一个实例讲解:

SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

SVD,奇异值分解的计算步骤以及实例讲解

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