动态规划——零钱兑换问题

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了动态规划——零钱兑换问题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

零钱兑换问题 I

1、题目:力扣原题

动态规划——零钱兑换问题

2、分析

(1)结合我们之前分析的(动态规划解决背包问题),这里硬币有无限个对应完全背包问题。但又存在一点区别:纯完全背包是能否凑成总的金额,本题是要求凑成总金额的组合个数

(2)要注意是求解组合 还是排列 问题。例如 221 和121可以表示一种组合或者两种排列。组合之间不强调元素之间的顺序,而排列强调元素之间的顺序。

DP五部曲分析如下:

1)确定dp含义

        dp[j]: 表示凑成总金额j可以得到的货币组合总数;

2)确定递推公式‘’

        dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的dp[j - coins[i]](不考虑coins[i])相加。

        所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

求装满背包有几种方法,一般公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

3)初始化

        dp[0]=1,表示凑成金额为0的货币组合数为1;

4)确定遍历顺序

        这里就要根据上面讨论的来进行区别,题目是要求组合数还是排列数需要对遍历顺序进行处理。因为纯完全背包求得是能否凑成总和,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!

        而本题要求凑成总和的组合数,元素之间要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。

        为了清晰对比,我们对两个for循环的先后遍历顺序讨论一下:

a、外层for循环遍历钱币, 内层for循环遍历金钱总额的情况

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品(钱币数)
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量(金钱总额),内层循环这里,背包容量必须大于物品大小才有意义,
//这个物品才可以装进背包,所以初始化j=coins[i]
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        因为金钱总额遍历在内循环,所以金钱总额里的每一个值只对应了钱币数的单次情况。例如,假设:coins[0] = 1,coins[1] = 2。

        那么就是先把1加入计算,然后再把2加入计算,得到的方法数量只有{1, 2}这种情况。而不会出现{2, 1}的情况。所以这种先物品再背包的遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!

b、把两个for循环的遍历次序交换,先遍历金钱总额,再遍历钱币数

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量(金钱总额)
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品(钱币)
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

        背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。先背包,在物品遍历,此时dp[j]里算出来的就是排列数!

为了进一步分析,我们采用dp五步曲中的第五步来展开讲解:

5)举例dp数组推导

        输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:

        我们采用先物品再背包的遍历顺序  来求解组合数:

动态规划——零钱兑换问题

         最后 红色框中的结果就是最终的满足条件的组合数。

总结:

动态规划——零钱兑换问题

3、代码

java:

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组,表示金额为0时只有一种情况,也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

python:

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount + 1)
        dp[0] = 1
        # 遍历物品
        for i in range(len(coins)):
            # 遍历背包
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

零钱兑换问题 II

1、原题:力扣原题

动态规划——零钱兑换问题

 (和问题1的区别:问题1是求解满足条件的所有组合数,本题是要求凑成金额的最少硬币个数;其中问题1和问题2的硬币数量都是无限的,即是完全背包问题 的深入)

2、分析

        根据题目要求,最简单的一种思路便是把满足硬币组合等于amount的组合全部列出来,然后找到组合数目最少的即可,可以用递归解决,但时间复杂度会很高,需要很好的剪枝策略;

        另一个直观的想法便是采用动态规划,初始化一个amount+1大小的dp数组,记录每一个状态的最优解,过程如下:

1)dp定义

        dp[j]: 表示 可以凑成金额为j的最少硬币组合个数;

2) dp递归公式

        得到dp[j](考虑coins[i]),只有一个来源,dp[j - coins[i]](没有考虑coins[i])。

        凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])

        所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。递推公式:

        dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

  3)初始化 

        首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;

        其他下标对应的数值呢?

        考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4)确定遍历顺序

        动态规划——零钱兑换问题

 故本题,任意顺序遍历都可,我们采用先遍历物品(硬币)再遍历背包(总金额);又因为硬币的个数有无数个,所以为完全背包问题,采用一维dp时,内层循环正序遍历即可

动态规划——零钱兑换问题

3)代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        //当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            //正序遍历:完全背包每个硬币可以选择多次
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时,该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    //选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}

python:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-440840.html

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        '''版本一'''
        # 初始化
        dp = [amount + 1]*(amount + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历物品
        for coin in coins:
            # 遍历背包
            for j in range(coin, amount + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
        return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1

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