矩阵理论复习部分——线性代数(3)初等变换、逆矩阵

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了矩阵理论复习部分——线性代数(3)初等变换、逆矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

初等变换

一、初等变换3种方式

  1. 对调矩阵的两行(两列);
  2. k ≠ 0 k \not = 0 k=0 乘某一行(列)所有元素;
  3. 某一行(列)元素 k k k 倍加到另一行(列);

二、初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
左乘初等矩阵 = 行变换
右乘初等矩阵 = 列变换

初等矩阵所对应的行列式一定不为0。


逆矩阵

定义:已知方阵 A A A,求一个方阵 B B B ,使得矩阵 B B B 满足: A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E,称 B B B A A A 的逆矩阵。

奇异矩阵:不可逆矩阵
非奇异矩阵:可逆矩阵

三、求逆矩阵

方法1:直接求逆矩阵(行变换法)
逆矩阵求法:初等行变换: ( A ∣ E ) → ( E ∣ A − 1 ) (A|E) \to (E|A^{-1}) (AE)(EA1)
直接在原矩阵右边增加一个单位矩阵,经过初等行变换将原矩阵变化为单位矩阵,右侧矩阵即原矩阵的逆。

方法2:凑逆矩阵
根据题干提示信息,经过变换,可得到逆矩阵。

四、化简表达式

∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|} = |A|^{-1} A1=A1=A1

( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1} = A (A1)1=A

( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)1=λ1A1

( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1

( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} (A1)T=(AT)1文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-441078.html

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