计算两个或多个向量之间的相关性（Matlab 实现）

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corr：Pearson 线性相关系数矩阵

两个随机变量 $x$、$y$ 的 Pearson 线性相关系数的计算公式为
ρ = E { ( x − E [ x ] ) ( y − E [ y ] ) } E [ ( x − E [ x ] ) ] 2 E [ ( y − E [ y ] ) ] 2 = E { ( x − μ x ) ( y − μ y ) } σ x σ y \begin{aligned} \rho &= \frac{ E\left\{( x - E[ x]) ( y - E[ y])\right\} } { \sqrt{ E[( x - E[ x])]^2 E[( y - E[ y])]^2 } } \\ &= \frac{ E\left\{( x - \mu_x) ( y - \mu_y)\right\} } { \sigma_x \sigma_y } \end{aligned} ρ​=E[(x−E[x])]2E[(y−E[y])]2 ​E{(x−E[x])(y−E[y])}​=σx​σy​E{(x−μx​)(y−μy​)}​​

corr 用于计算 Pearson 线性相关系数，其语法如下：

rho = corr(X)   % = corr(X, X)
rho = corr(X, Y)

$\mathbf{X}$、$\mathbf{Y}$ 为观测值矩阵，矩阵大小分别为 $n\times k_1$ 和 $n\times k_2$。

Pearson 线性相关系数矩阵 rho 的第 $(a,b)$ 个元素为 $\mathbf{X}$ 第 $a$ 个列向量（${\mathbf{X}}_a$）和$\mathbf{Y}$ 第 $b$ 个列向量（${\mathbf{Y}}_b$）之间的 Pearson 线性相关系数，对应的计算公式为
KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 26: … = \frac{ \sum_̲\limits{i=1}^{n…

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。 –1 表示完全负相关，而 +1 表示完全正相关。 0 表示列之间没有相关性。

• corr 的功能也可用下面的代码实现

X = rand(5, 3) + 1j*rand(5, 3);
Y = rand(5, 3) + 1j*rand(5, 3);
rho1 = corr(X, Y)
rho2 = my_corr(X, Y)

function rho = my_corr(X, Y)
N = size(X, 1);
X1 = (X - mean(X)) ./ std(X);
Y1 = (Y - mean(Y)) ./ std(Y);
rho = (X1'*Y1)./(N-1);

corrcoef：Pearson 线性相关系数

当 corrcoef 的输入只有一个矩阵时，其结果与 corr 一致。

X = randn(5, 3);
rho1 = corr(X)
rho2 = corrcoef(X)    % rho1 = rho2

当 corrcoef 的输入有两个矩阵时，计算这两个矩阵对应的列向量的相关系数矩阵，返回矩阵大小为 $2\times 2$。

X = randn(5, 3);
Y = randn(5, 3);
rho3 = corr(X(:), Y(:))
rho4 = corrcoef(X, Y)
rho5 = corrcoef([X(:), Y(:)])   % rho4 = rho5

rho4 的非对角线元素等于 rho3，对角线元素为 1 。

xcorr：计算互相关或自相关

r = xcorr(x, y)
r = xcorr(x)

xcorr 的结果可以解释为两个随机序列之间的相关性估计，也可以解释为两个确定性信号之间的确定相关性。

两个联合平稳随机过程 $x_n$ 和 $y_n$ 的互相关序列由下式给出
R x y ( m ) = E { x n + m y n ∗ } = E { x n y n − m ∗ } R_{xy}(m) = E\{x_{n+m}y_n^*\} = E\{x_{n}y_{n-m}^*\} Rxy​(m)=E{xn+m​yn∗​}=E{xn​yn−m∗​}

一般情况下，相关性函数需要归一化来生成准确的估计，可以通过使用输入参数 scaleopt 来控制相关性的归一化。

• xcorr 的功能也可用下面的代码实现

x = rand(5, 1) + 1j*rand(5, 1);
[c1, lags1] = xcorr(x)
[c2, lags2] = my_xcorr(x)

function [c, lags] = my_xcorr(x)
N = size(x, 1);
c = zeros(2*N-1, 1);
for idx = -N+1:N-1
    y = circshift(x, idx);
    c(idx+N) = y'*x;
end
lags = -N+1:N-1;

cov：计算协方差矩阵

两个随机变量 $A$ 和 $B$ 的协方差定义为
$$\mathrm{cov}(A,B)=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(A_i-{\mu }_A{)}^{\ast }(B_i-{\mu }_B)$$

当 cov 的输入只有一个矩阵（$M\times N$）时，返回矩阵中不同列向量之间的协方差矩阵，大小为 $N\times N$。

当 cov 的输入有两个矩阵时，计算这两个矩阵对应的列向量之间的协方差矩阵，返回矩阵大小为 $2\times 2$ 。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-441163.html

X = rand(5, 3); 
Y = rand(5, 3);
C1 = cov(X, Y)
C2 = cov([X(:), Y(:)])   % C1 和 C2 结果相同

• cov 的功能也可用下面的代码实现

X = rand(5, 3) + 1j*rand(5, 3);
C1 = cov(X)
C2 = my_cov(X)

function C = my_cov(X)
N = size(X, 1);
X1 = X - mean(X);
C = (X1'*X1)./(N-1);

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