1. 定理
设 A A A为 n n n阶矩阵，则如下命题等价
- A A A是可逆的
- A X = 0 AX=0 AX=0只有0解
- A A A与 I I I行等价
- A A A可表示为有限个初等矩阵的乘积
2. 证明
2.1 证明: 1 → 2 1\rightarrow2 1→2
已知 A A A可逆，证明 A X = 0 AX=0 AX=0只有0解。
证明：
∵
A
\because\ A
∵ A可逆
∴
A
−
1
\therefore\ A^-1
∴ A−1存在
⇒
A
−
1
A
X
=
A
−
1
0
\Rightarrow\ A^{-1}AX=A^{-1}0
⇒ A−1AX=A−10
⇒
X
=
0
\Rightarrow\ X=0
⇒ X=0
证毕。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-441586.html
2.2 证明: 2 → 3 2\rightarrow3 2→3
已知 A X = 0 AX=0 AX=0只有0解，证明 A A A与 I I I行等价
证明：
∵
A
X
=
0
\because\ AX=0
∵ AX=0只有0解
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒ A必定可以化成行阶梯型矩阵
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒ A的对角元不为0
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒ A必定可以化为
I
I
I矩阵
证毕。
2.3 3 → 4 3\rightarrow4 3→4
已知 A A A与 I I I行等价，证明 A A A可表示为有限个初等矩阵的乘积
证明：
∵
A
\because\ A
∵ A与
I
I
I行等价
∴
\therefore
∴ 可以通过若干初等变换
E
1
E
2
.
.
.
E
k
E_1E_2...E_k
E1E2...Ek，使得：
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
A
=
I
E_1E_2......E_kA=I
E1E2......EkA=I
又
∵
\because
∵ 初等矩阵都是必定是可逆矩阵
∴
\therefore
∴ 存在
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
(
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
A
)
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
I
E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1} (E_1E_2......E_kA)=E_k^{-1}......E_2^{-1}I
Ek−1......E2−1E1−1(E1E2......EkA)=Ek−1......E2−1I
⇒ ( E k − 1 . . . . . . E 2 − 1 E 1 − 1 E 1 E 2 . . . . . . E k ) A = E k − 1 . . . . . . E 2 − 1 \Rightarrow\ (E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1}E_1E_2......E_k)A=E_k^{-1}......E_2^{-1} ⇒ (Ek−1......E2−1E1−1E1E2......Ek)A=Ek−1......E2−1
⇒ A = E k − 1 . . . . . . E 2 − 1 \Rightarrow\ A=E_k^{-1}......E_2^{-1} ⇒ A=Ek−1......E2−1
证毕。
2.3 4 → 1 4\rightarrow1 4→1
已知 A A A可表示为有限个初等矩阵的乘积，证明 A A A是可逆的。
证明：
∵
A
=
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
\because\ A=E_1E_2......E_k
∵ A=E1E2......Ek，且
E
1
,
E
2
,
.
.
.
E
k
E_1,E_2,...E_k
E1,E2,...Ek都是初等矩阵
∴
E
1
−
1
,
E
2
−
1
,
.
.
.
E
k
−
1
\therefore\ E_1^{-1},E_2^{-1},...E_k^{-1}
∴ E1−1,E2−1,...Ek−1存在
⇒
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
\Rightarrow\ E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1}A=E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1}E_1E_2......E_k
⇒ Ek−1......E2−1E1−1A=Ek−1......E2−1E1−1E1E2......Ek
⇒
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
I
\Rightarrow\ E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1}A=I
⇒ Ek−1......E2−1E1−1A=I
⇒
A
−
1
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
\Rightarrow\ A^{-1}=E_k^{-1}......E_2^{-1}E_1^{-1}
⇒ A−1=Ek−1......E2−1E1−1
证毕。
2.4 总结
∵
1
⇒
2
,
2
⇒
3
,
3
⇒
4
,
4
⇒
1
\because\ 1\Rightarrow2,\ 2\Rightarrow3,\ 3\Rightarrow4,\ 4\Rightarrow1
∵ 1⇒2, 2⇒3, 3⇒4, 4⇒1
∴
\therefore
∴ 标题
1
1
1中的所有命题等价。
3. 扩展
设 A A A为 n n n阶矩阵，则 A X = b AX=b AX=b有唯一解的充要条件是 A A A可逆。试证明。
证明：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-441586.html
- 充分性
∵ A \because\ A ∵ A可逆
∴ A − 1 \therefore\ A^{-1} ∴ A−1存在
⇒ A − 1 A X = A − 1 b \Rightarrow\ A^{-1}AX=A^{-1}b ⇒ A−1AX=A−1b
⇒ X = A − 1 b \Rightarrow\ X=A^{-1}b ⇒ X=A−1b
充分性证毕。 - 必要性
假设 A X = b AX=b AX=b有唯一解，但 A A A不可逆。
根据标题 1 1 1中定理， ∵ A \because\ A ∵ A可逆 ⇒ A X = 0 \Rightarrow\ AX=0 ⇒ AX=0只有0解
∴ A \therefore\ A ∴ A不可逆 ⇒ A X = 0 \Rightarrow\ AX=0 ⇒ AX=0有非0解
则设存在 A X = 0 AX=0 AX=0的一个非0解 Z Z Z，使得 A Z = 0 AZ=0 AZ=0
因此 A X + A Z = b + 0 AX+AZ=b+0 AX+AZ=b+0
⇒ A ( X + Z ) = b \Rightarrow\ A(X+Z)=b ⇒ A(X+Z)=b
∵ Z \because\ Z ∵ Z为非0解
∴ X + Z ≠ X \therefore\ X+Z\neq\ X ∴ X+Z= X
这与 A X = b AX=b AX=b有唯一解矛盾，因此：如果 A X = b AX=b AX=b有唯一解， A A A必然可逆。
证毕。
到了这里，关于矩阵可逆的充要条件及证明的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
