分治法解二维的最近对问题,算法分析与代码实现,蛮力法与分治法解决二维的最近对问题的区别

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分治法解二维的最近对问题,算法分析与代码实现,蛮力法与分治法解决二维的最近对问题的区别

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目录

分治法

算法思想

时间效率分析 

二维的最近对问题

算法思路

举例分析

代码实现


分治法

算法思想

        分治法可能是最著名的通用算法设计技术了。虽然它的名气可能和它那好记的名字有关,但它的确是当之无愧的:很多非常有效的算法实际上就是这个通用算法的特殊实现。其实,分治法是按照以下方案工作的。

        (1)将一个问题划分为同一类型的若干子问题,子问题最好规模相同。
        (2)对这些子问题求解(一般使用递归方法,但在问题规模足够小时,有时也会利用另一个算法)。
        (3)有必要的话,合并这些子问题的解,以得到原始问题的答案。

        分治法的流程可以参见下图,该图描述的是将一个问题划分为两个较小子问题的例子,也是最常见的情况(至少那些设计运行在单CPU机器上的分治算法是这样的)。

分治法解二维的最近对问题,算法分析与代码实现,蛮力法与分治法解决二维的最近对问题的区别

时间效率分析 

        在分治法最典型的运用中,问题规模为n的实例被划分为两个规模为n/2的实例。更一般的情况下,一个规模为n的实例可以划分为b个规模为n/b的实例,其中α个实例需要求解(这里,a和b是常量,a≥1,b>1)。为了简化分析,我们假设n是b的幂,对于算法的运行时间T(n),我们有下列递推式:

T(n) =aT(n / b)+ f(n)

        其中,f(n)是一个函数,表示将问题分解为小问题和将结果合并起来所消耗的时间(对于求和的例子来说,a = b = 2,f(n)= 1)。上述递推式被称为通用分治递推式(generaldivide-and-conquer recurrence)。显然,T(n)的增长次数取决于常量a和b的值以及函数f(n)的增长次数。在分析许多分治算法的效率时,可以应用下列定理来大大简化我们的工作。

        主定理        如果在递推式(5.1)中 f(n)e e(n*),其中d≥0,那么

 ​

        其中,当a < ​时,该问题的时间复杂度为n的d次方

        当a = ​时,该问题的时间复杂度为n的d次方乘一个对数级​

        当a > ​时,该问题的时间复杂度为n的log b为底a次方

二维的最近对问题

        二维的最近对问题是指在二维平面上有n个点,如何找到距离最近的两个点的问题。一种常用的解决方法是分治法,即将一个规模较大的问题分解为规模较小的子问题,先求解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

        在之前的章节中,我们有学到蛮力法来解决一些问题,二维的最近对问题如果实用蛮力法来解决问题,那么时间效率为。但是使用分治技术可以用更高的时间效率来解决这个问题。

算法思路

分治法解二维的最近对问题,算法分析与代码实现,蛮力法与分治法解决二维的最近对问题的区别

        左图是最近对问题的分治算法的思想,右图是和点p距离小于d的点可能分布的矩形区域

        具体步骤为:

  • 将n个点按照x坐标排序,然后从中间划分为两个子集,分别求解左右两边的最近点对。
  • 比较左右两边的最近点对的距离,取较小者作为当前的最近点对。
  • 在中间区域内寻找可能存在的更近的点对,即在距离中线不超过当前最近点对距离的范围内,找出所有满足条件的点,并按照y坐标排序。
  • 对于每个点,只需与它后面的7个点进行比较,如果发现更近的点对,则更新当前最近点对。
  • 返回当前最近点对。

举例分析

        我们举个例子,假设我们有以下6个点:

x坐标 y坐标
A 1 2
B 3 4
C 5 6
D 7 8
E 9 10
F 11 12
  • 首先,我们按照x坐标排序,得到以下顺序:

A B C D E F

  • 然后,我们从中间划分为两个子集,分别求解左右两边的最近点对。左边的子集是:

A B C

右边的子集是:

D E F

  • 对于左边的子集,我们可以用暴力法求出最近点对是A和B,距离为根号8。对于右边的子集,我们也可以用暴力法求出最近点对是D和E,距离也是根号8。所以当前的最近点对距离是根号8。
  • 接下来,我们在中间区域内寻找可能存在的更近的点对,即在距离中线不超过根号8的范围内,找出所有满足条件的点,并按照y坐标排序。中线的x坐标是6,所以我们只需要考虑C和D两个点。按照y坐标排序后,得到以下顺序:

C D

  • 对于每个点,只需与它后面的7个点进行比较,如果发现更近的点对,则更新当前最近点对。在这个例子中,只有C和D两个点需要比较,它们的距离是根号8,与当前最近点对距离相等,所以不需要更新。
  • 最后,我们返回当前最近点对,即A和B或者D和E。

代码实现

        其中包括使用蛮力法(暴力破解)与分治法两种方法解决二维的最近对问题,大家可以通过运行代码来更直观的感受这两种方法的异同。

        代码整体逻辑与分析:        文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-442123.html

  • 定义了两个结构体,分别表示点和点对,以及一些辅助函数,如计算两点之间的距离,比较两个点对的距离,按照x坐标或y坐标排序的比较函数等。
  • 实现了暴力法求解最近点对的函数,即遍历每个点,与后面的点进行比较,找出最近的点对。这个函数适用于点数较少的情况,时间复杂度是O(n^2)。
  • 实现了分治法求解最近点对的函数,即将一个规模较大的问题分解为规模较小的子问题,先求解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这个函数适用于点数较多的情况,时间复杂度是O(nlogn)。具体的步骤如下:
    • 如果点数小于等于3,直接用暴力法求解。
    • 将n个点按照x坐标排序,然后从中间划分为两个子集,分别求解左右两边的最近点对。
    • 比较左右两边的最近点对的距离,取较小者作为当前的最近点对。
    • 在中间区域内寻找可能存在的更近的点对,即在距离中线不超过当前最近点对距离的范围内,找出所有满足条件的点,并按照y坐标排序。
    • 对于每个点,只需与它后面的7个点进行比较,如果发现更近的点对,则更新当前最近点对。
    • 返回当前最近点对。
  • 主函数,用于测试代码。创建了一个测试用例,包含6个点,并调用分治法求解最近点对,并打印结果。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

//定义一个点的结构体
typedef struct point {
    double x; //x坐标
    double y; //y坐标
} point;

//定义一个点对的结构体
typedef struct pair {
    point p1; //第一个点
    point p2; //第二个点
    double dist; //两点之间的距离
} pair;

//计算两点之间的距离
double distance(point p1, point p2) {
    return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));
}

//比较两个点对的距离,返回较小者
pair min(pair a, pair b) {
    if (a.dist < b.dist) {
        return a;
    } else {
        return b;
    }
}

//按照x坐标排序的比较函数
int compare_x(const void* a, const void* b) {
    point* p1 = (point*)a;
    point* p2 = (point*)b;
    if (p1->x < p2->x) {
        return -1;
    } else if (p1->x > p2->x) {
        return 1;
    } else {
        return 0;
    }
}

//按照y坐标排序的比较函数
int compare_y(const void* a, const void* b) {
    point* p1 = (point*)a;
    point* p2 = (point*)b;
    if (p1->y < p2->y) {
        return -1;
    } else if (p1->y > p2->y) {
        return 1;
    } else {
        return 0;
    }
}

//暴力法求解最近点对,适用于点数较少的情况
pair brute_force(point* points, int n) {
    pair min_pair; //最近点对
    min_pair.dist = INFINITY; //最近点对距离初始化为无穷大
    for (int i = 0; i < n; i++) { //遍历每个点
        for (int j = i + 1; j < n; j++) { //与后面的点进行比较
            double dist = distance(points[i], points[j]); //计算两点之间的距离
            if (dist < min_pair.dist) { //如果发现更近的点对,更新最近点对和最近点对距离
                min_pair.p1 = points[i];
                min_pair.p2 = points[j];
                min_pair.dist = dist;
            }
        }
    }
    return min_pair; //返回最近点对
}

//分治法求解最近点对,适用于点数较多的情况
pair divide_and_conquer(point* points, int n) {
    pair min_pair; //最近点对

    //如果点数小于等于3,直接用暴力法求解
    if (n <= 3) {
        return brute_force(points, n);
    }

    //将n个点按照x坐标排序,然后从中间划分为两个子集,分别求解左右两边的最近点对
    qsort(points, n, sizeof(point), compare_x); //按照x坐标排序
    int mid = n / 2; //中间位置的索引
    point mid_point = points[mid]; //中间位置的点

    pair left_pair = divide_and_conquer(points, mid); //求解左边子集的最近点对
    pair right_pair = divide_and_conquer(points + mid, n - mid); //求解
    //右边子集的最近点对
    min_pair = min(left_pair, right_pair); //比较左右两边的最近点对,取较小者作为当前的最近点对

    //在中间区域内寻找可能存在的更近的点对,即在距离中线不超过当前最近点对距离的范围内,找出所有满足条件的点,并按照y坐标排序
    point* strip = (point*)malloc(n * sizeof(point)); //创建一个动态数组,用于存放满足条件的点
    int size = 0; //记录满足条件的点的个数
    for (int i = 0; i < n; i++) { //遍历每个点
        if (fabs(points[i].x - mid_point.x) < min_pair.dist) { //如果该点距离中线不超过当前最近点对距离
            strip[size++] = points[i]; //将该点加入到动态数组中
        }
    }
    qsort(strip, size, sizeof(point), compare_y); //按照y坐标排序

    //对于每个点,只需与它后面的7个点进行比较,如果发现更近的点对,则更新当前最近点对
    for (int i = 0; i < size; i++) { //遍历每个点
        for (int j = i + 1; j < size && (strip[j].y - strip[i].y) < min_pair.dist; j++) { //与后面的7个点进行比较
            double dist = distance(strip[i], strip[j]); //计算两点之间的距离
            if (dist < min_pair.dist) { //如果发现更近的点对,更新最近点对和最近点对距离
                min_pair.p1 = strip[i];
                min_pair.p2 = strip[j];
                min_pair.dist = dist;
            }
        }
    }

    free(strip); //释放动态数组的内存空间
    return min_pair; //返回最近点对
}

//主函数,用于测试代码
int main() {
    //创建一个测试用例,包含6个点
    point points[] = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}, {9, 10}, {11, 12}};
    int n = sizeof(points) / sizeof(points[0]); //计算点的个数

    pair result = divide_and_conquer(points, n); //调用分治法求解最近点对

    printf("The closest pair is (%.2f, %.2f) and (%.2f, %.2f), and the distance is %.2f.\n", result.p1.x, result.p1.y, result.p2.x, result.p2.y, result.dist); //打印结果

    return 0;
}

到了这里,关于分治法解二维的最近对问题,算法分析与代码实现,蛮力法与分治法解决二维的最近对问题的区别的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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