1 问题描述
面包店每天烘烤一定数量的面包出售，每个成本3元，以8元的价格卖出，晚间关门前将未卖完的面包无偿处理掉，若已知每天面包需求量的概率分布如下表所示。从长期看，面包店老板为了能得到最高的日均收入，他每天要烘烤多少个面包？这个最高日均收入是多少？
| 需求量/个 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
| 概率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
2 问题分析与符号定义
从问题描述中可知，面包店一天的收入为：已售出的面包数量×(8-3)-未卖完的面包数×3
引入以下符号定义：
：售出一个面包而获得的利润
：未卖完一个面包而损失的利润
：面包日需求量
：日需求量的概率分布
：一天烘烤的面包数量
因当天的收入与当天烘烤的面包数量和当天面包的需求量紧密相关，所以记一天的收入为，即是关于、的函数。
3 建立模型
日收入情况讨论分析：
(1) 当需求小于等于供给时，
(2) 当需求大于供给时，
于是可由分段函数表示，
(1)
上式中，为随机变量。现在的问题转化为，当为多少时，数学期望最大。由式(1)，以及的概率分布，可得的表达式，
(2)
4 问题求解
- 求解
这里通过使值逐渐增大的方法来求最大期望。
思考：当烘烤的面包数量从1开始逐渐增加时，日均利润也将逐渐增大，当超过某个值，日均利润不升反降时，那么小于的最大值即为使得期望最大的取值。
这里分情况讨论一下日烘烤面包数量从增加到后，日均利润的变化情况。
情况1：若，则从增加到，可以多卖出1个面包，日均利润增加元；
情况2：若，则从增加到，因多出一个卖不出去的面包，日均利润减少元；
由以上分析，可形式化表示为：
(3)
其中，表示的概率，表示的概率，表示烘烤面包数量为
时，日收入
的数学期望。
注意到，代入式(3)，化简后得，
(4)
观察式(4)，可以看出，当 时，即，当
(5)
时，，也就是，取满足不等式(5)的最小值，即能使期望取得最大值.
将，代入不等式(5)，得
(6)
根据表1的概率分布，满足不等式(6)的最小文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-442144.html
- 求解日均最高收入
将代入式(2)，根据表-1，取r=50, 100, 150, 200, 250，可求得(元)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-442144.html
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