电机控制学习笔记——坐标变换-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了电机控制学习笔记——坐标变换。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

0 前言

直流电机是低阶，线性，非耦合系统，具有控制简单、调速平滑等优点。而交流电机是高阶，非线性，强耦合系统，在静态性能和动态性能调速方面不如直流电机。那么能不能模仿直流电机的控制方式来控制交流电机呢？要实现这点，首先要明白直流电机的控制原理。
直流电机的控制公式如下所示：
$\left\{ \begin{matrix} T_e=C_T\phi_mI_a \\ \phi_m=L_fI_f\ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{1}$
可以看到，直流电机的电磁转矩 $T_e$ 与主磁通 $\phi_m$ 和电枢电流 $I_a$ 相关，而主磁通 $\phi_m$ 与励磁电流 $I_f$ 线性相关。当主磁通 $\phi_m$ 保持不变时电磁转矩 $T_e$ 仅和电枢电流 $I_a$ 线性相关。所以直流电机可以用励磁电流 $I_f$ 控制主磁通 $\phi_m$ ，用电枢电流 $I_a$ 控制电磁转矩 $T_e$ 。
因此，模仿直流电机的控制方式来控制交流电机的关键在于：把三相定子电流分解出两个分量，一个分量为励磁分量，用于控制主磁通，类似于直流电机的 $I_f$ ；另一个分量为转矩分量，用于控制电磁转矩，类似于直流电机的 $I_a$ ，基于此发明了矢量控制。而要实现这一点就要进行坐标变换，将电流从abc三相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系。下面介绍相关坐标系之间的关系并给出变换过程。

1 坐标系

在电机控制中常用的三种坐标系如下图所示：分别为abc三相静止坐标系、 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系、dq两相旋转坐标系。
电机控制学习笔记——坐标变换
其中，abc三相静止坐标系为三相互差120°的静止坐标系， $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系为 $\alpha$ 轴超前 $\beta$ 轴90°并且 $\alpha$ 轴与a轴重合的两相静止坐标系，dq两相旋转坐标系为两相的旋转坐标系，转速为同步速，其中q轴超前d轴90°，d轴与转子磁链重合。
因此，有三种坐标变换形式：从abc三相静止坐标系变换到 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系(abc/ $\alpha$ $\beta$ 变换或3s/2s变换)、从 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系的变换( $\alpha$ $\beta$ /dq变换或2s/2r变换)、从abc三相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系的变换(abc/dq变换或3s/2r变换)。
从最原始的定义来说，abc/ $\alpha$ $\beta$ 变换叫Clarke变换，abc/dq变换叫Park变换。
然而目前很多书籍和论文都把 $\alpha$ $\beta$ /dq变换叫做Park变换，东南大学的付兴贺 $^{[1]}$ 老师指出，这是不严谨的，只能称之为“狭义”的Park变换，但是为了理解和交流方便，下文仍然使用Park变换来指代 $\alpha$ $\beta$ /dq变换。

2 Clarke变换(abc/ α \alpha α β \beta β变换)

Clarke变换如下图所示：从abc三相静止坐标系变换到 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系。

电机控制学习笔记——坐标变换
abc三相静止坐标系与 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系的关系如下图所示：

坐标变换需要遵循磁动势守恒：
$\left\{ \begin{matrix} N_1i_{\alpha}=N_2i_A-N_2i_Bcos(60°)-N_2i_Ccos(60°) \\ N_1i_{\beta}=N_2i_Bsin(60°)-N_2i_Csin(60°)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{2}$
化简为矩阵形式：
$\begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =\frac{N_2}{N_1} \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}\tag{3}$
令 $k=\frac{N_2}{N_1}$ 即可得到Clarke变换矩阵：
$C_{3s/2s}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix}\tag{4}$
因为坐标变换不是唯一的，所以需要根据不同的约束条件来确定不同的 $k$ 值，电机控制中一般使用恒幅值或者恒功率约束。

2.1 恒幅值变换

恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变，因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
$\left\{ \begin{matrix} i_A=Icos(\omega t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ i_B=Icos(\omega t+120°) \\ i_C=Icos(\omega t-120°) \end{matrix} \right.\tag{5}$
由上述推导可知：
$\left\{ \begin{matrix} i_{\alpha}=k(i_A-\frac{1}{2}i_B-\frac{1}{2}i_C) \\ \\ i_{\beta}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}k(i_B-i_C)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \right.\tag{6}$
又因为
$i_A+i_B+i_C=0\tag{7}$
所以
$\left\{ \begin{matrix} i_{\alpha}=k(i_A-\frac{1}{2}i_B-\frac{1}{2}i_C)=\frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ \\ i_{\beta}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}k(i_B-i_C)=-\frac{3}{2}kIsin(\omega t)\quad \ \ \end{matrix} \right.\tag{8}$
要保证恒幅值，则：
$k=\frac{2}{3}$

2.2 恒功率变换

恒功率约束在于变换前后的功率保持不变，即输入三相功率等于变换后的两相功率。因为三相电流都为正弦量，且时间相位上互差120°，因此：
$\left\{ \begin{matrix} u_A=Ucos(\omega t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ u_B=Ucos(\omega t+120°) \\ u_C=Ucos(\omega t-120°) \end{matrix} \right.\tag{9}$
变换前的功率为：
$P_1=3\times U\times I=3UI\tag{10}$
由前面的推导可知，变换后电流幅值由 $I$ 变为 $\frac{3}{2}kI$ ，同理可得电压幅值变为 $\frac{3}{2}kU$ ，则变换后的功率为：
$P_2=2\times \frac{3}{2}kU\times \frac{3}{2}kI=\frac{9}{2}k^2UI\tag{11}$
令 $P_1=P_2$ 得：
$k=\sqrt{\frac{2}{3}}$

2.3 小结

Clarke变换根据约束条件的不同有两种形式：恒幅值变换和恒功率变换。其变换如下：
$\begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =C_{3s/2s}\begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} k=\frac{2}{3}，恒幅值变换\quad \\ \\ k=\sqrt{\frac{2}{3}}，恒功率变换 \end{matrix} \right.\tag{12}$

3 Park变换( α \alpha α β \beta β/dq变换)

Park变换如下图所示：从 $\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系变换到dq两相旋转坐标系。

电机控制学习笔记——坐标变换
$\alpha$ $\beta$ 两相静止坐标系与dq两相旋转坐标系的关系如下图所示：

根据上图，由磁动势守恒：
$\left\{ \begin{matrix} i_d=i_{\alpha}cos(\theta)+i_{\beta}sin(\theta)\quad \\ i_q=-i_{\alpha}sin(\theta)+i_{\beta}cos(\theta) \end{matrix} \right.\tag{13}$
写成矩阵形式即可得到Park变换：
$\begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}\tag{14}$
则Park变换矩阵为：
$C_{2s/2r}=\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix}\tag{15}$

4 总结

Clarke变换：
$\begin{bmatrix} i_{\alpha } \\ i_{\beta } \end{bmatrix} =C_{3s/2s}\begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix}=k \begin{bmatrix} 1\quad -\frac{1}{2}\quad -\frac{1}{2} \\ 0\quad \frac{\sqrt[]{3}}{2}\quad -\frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_A \\ i_B \\ i_C \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} k=\frac{2}{3}，恒幅值变换\quad \\ \\ k=\sqrt{\frac{2}{3}}，恒功率变换 \end{matrix} \right.\tag{16}$
Park变换：
$\begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix} =C_{2s/2r}\begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos(\theta)\quad sin(\theta) \\ -sin(\theta)\quad cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\alpha} \\ i_{\beta} \end{bmatrix}\tag{17}$