我朋友曾经经历过奇葩面试，面试官直接给出一张白纸，要求用微积分计算圆的面积，他于是在白纸上画了一个圆，再分割为一个个小三角形，然后给出了结果。但是面试官不满意，认为这不是用微积分的知识。这种方式是小学课本上的方式，我觉得吧，虽然没用到大学微积分的知识，但是用了微积分的思想。我听完他的故事，瞬间明白了。面试官是要我朋友计算下面的积分：
2
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
d
x
2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx
2∫−rrr2−x2dx
直接用
r
2
r^2
r2比较难，先来个简单的，假设圆的半径为1，也就是计算下面这个不定积分：
∫
1
−
x
2
d
x
\int \sqrt{1-x^2}dx
∫1−x2dx
直接这样算是算不出来的，需要用换元法，我们让
x
=
s
i
n
u
x=sin \ u
x=sin u，那么
d
x
=
c
o
s
u
d
u
dx=cos \ u \ du
dx=cos u du。所以有：
∫
1
−
x
2
d
x
=
∫
1
−
s
i
n
2
u
c
o
s
u
d
u
=
∫
c
o
s
2
u
c
o
s
u
d
u
\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \sqrt{1-sin^2 \ u} cos \ u \ du=\int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du
∫1−x2dx=∫1−sin2 ucos u du=∫cos2 ucos u du
到这一步，那就简单了啊。但是能直接开根号吗？我们确定定义域，因为计算的是半圆的不定积分，所以
x
∈
[
−
1
,
1
]
,
∴
u
∈
[
−
π
2
，
π
2
]
x \in [-1,1], \therefore u \in [-\frac{\pi}2，\frac{\pi}2]
x∈[−1,1],∴u∈[−2π，2π]，那这就有了
c
o
s
u
≥
1
cos \ u \ge 1
cos u≥1啊，所以直接脱去根号了，继续下去：
∫
c
o
s
2
u
c
o
s
u
d
u
=
∫
c
o
s
2
u
d
u
\int \sqrt{cos^2 \ u} cos \ u \ du=\int cos^2 \ u \ du
∫cos2 ucos u du=∫cos2 u du
这个时候，就需要用到三角函数倍角公式了：
c
o
s
2
x
=
c
o
s
2
x
−
s
i
n
2
x
=
2
c
o
s
2
x
−
1
⇒
c
o
s
2
x
=
c
o
s
2
x
+
1
2
cos \ 2x = cos^2 \ x- sin^2 \ x=2cos^2 \ x -1\\ \Rightarrow cos^2 \ x=\frac{cos \ 2x +1}2
cos 2x=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1⇒cos2 x=2cos 2x+1
所以只能接着计算了啊:
∫
c
o
s
2
u
d
u
=
s
i
n
2
u
4
+
u
2
+
C
∵
u
=
a
r
c
s
i
n
x
∴
∫
c
o
s
2
u
d
u
=
s
i
n
(
2
a
r
c
s
i
n
x
)
4
+
a
r
c
s
i
n
x
2
+
C
\int cos^2 \ u \ du =\frac{sin \ 2u}4+\frac{u}2+C\\ \because u=arcsin \ x\\ \therefore \int cos^2 \ u \ du =\frac{sin (2arcsin \ x)}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\
∫cos2 u du=4sin 2u+2u+C∵u=arcsin x∴∫cos2 u du=4sin(2arcsin x)+2arcsin x+C
只剩下一个很丑的部分
s
i
n
(
2
a
r
c
s
i
n
x
)
sin (2arcsin \ x)
sin(2arcsin x)，这部分是可以优化的，有用到了三角函数的倍角公式。这次是正弦：
s
i
n
2
x
=
2
s
i
n
x
c
o
s
x
sin \ 2x = 2 sin \ x cos \ x
sin 2x=2sin xcos x
所以对这一部分继续改写：
s
i
n
(
2
a
r
c
s
i
n
x
)
=
2
s
i
n
(
a
r
c
s
i
n
x
)
c
o
s
(
a
r
c
s
i
n
x
)
=
2
x
c
o
s
(
a
r
c
s
i
n
x
)
=
2
x
1
−
s
i
n
2
(
a
r
c
s
i
n
x
)
=
2
x
1
−
x
2
sin (2arcsin \ x)=2sin \ (arcsin \ x) cos \ (arcsin \ x) \\ =2xcos \ (arcsin \ x) \\ =2x\sqrt{1-sin^2 (arcsin \ x)}\\ =2x\sqrt{1-x^2}
sin(2arcsin x)=2sin (arcsin x)cos (arcsin x)=2xcos (arcsin x)=2x1−sin2(arcsin x)=2x1−x2
所以最终结果出来了啊：
∫
1
−
x
2
d
x
=
2
x
1
−
x
2
4
+
a
r
c
s
i
n
x
2
+
C
=
x
1
−
x
2
2
+
a
r
c
s
i
n
x
2
+
C
\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}4+\frac{arcsin \ x}2+C\\ =\frac{x\sqrt{1-x^2}}2+\frac{arcsin \ x}2+C
∫1−x2dx=42x1−x2+2arcsin x+C=2x1−x2+2arcsin x+C
把上述不定积分定为
F
(
x
)
F(x)
F(x),那定积分就是
F
(
1
)
−
F
(
−
1
)
F(1)-F(-1)
F(1)−F(−1)：
F
(
1
)
=
1
1
−
1
2
+
a
r
c
s
i
n
1
2
+
C
=
π
4
+
C
F
(
−
1
)
=
1
1
−
1
2
+
a
r
c
s
i
n
−
1
2
+
C
=
−
π
4
+
C
2
∫
−
1
1
1
−
x
2
d
x
=
2
[
F
(
1
)
−
F
(
−
1
)
]
=
π
F(1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ 1}2+C=\frac{\pi}4+C\\ F(-1)=\frac{1\sqrt{1-1}}2+\frac{arcsin \ -1}2+C=-\frac{\pi}4+C\\ 2\int^1_{-1} \sqrt{1-x^2}dx=2[F(1)-F(-1)]=\pi
F(1)=211−1+2arcsin 1+C=4π+CF(−1)=211−1+2arcsin −1+C=−4π+C2∫−111−x2dx=2[F(1)−F(−1)]=π
哇，单位圆的面积就这么用微积分知识求出来了啊。如果换成通用的圆的面积也好办，就是先求以下不定积分：
x
=
r
s
i
n
u
，
d
x
=
r
c
o
s
u
d
u
∫
r
2
−
x
2
d
x
=
∫
r
2
c
o
s
2
u
d
u
=
r
2
∫
c
o
s
2
u
d
u
=
r
2
s
i
n
2
u
4
+
r
2
u
2
+
C
=
2
r
2
s
i
n
u
1
−
s
i
n
2
u
4
+
r
2
u
2
+
C
x=rsin \ u，dx = rcos\ u du\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx\\=\int r^2cos^2\ u\ du\\ =r^2\int cos^2\ u\ du\\ =\frac{r^2sin \ 2u}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C
x=rsin u，dx=rcos udu∫r2−x2dx=∫r2cos2 u du=r2∫cos2 u du=4r2sin 2u+2r2u+C=42r2sin u1−sin2 u+2r2u+C
最后换回去：
u
=
a
r
c
s
i
n
x
r
∫
r
2
−
x
2
d
x
=
2
r
2
s
i
n
u
1
−
s
i
n
2
u
4
+
r
2
u
2
+
C
=
2
r
2
s
i
n
(
a
r
c
s
i
n
x
r
)
1
−
s
i
n
2
(
a
r
c
s
i
n
x
r
）
4
+
r
2
a
r
c
s
i
n
x
r
2
+
C
=
2
r
2
x
r
1
−
(
x
r
)
2
4
+
r
2
a
r
c
s
i
n
x
r
2
+
C
=
r
x
1
−
(
x
r
)
2
2
+
r
2
a
r
c
s
i
n
x
r
2
+
C
u=arcsin\frac{x}r\\ \int \sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{2r^2sin \ u\sqrt{1-sin^2 \ u}}4+\frac{r^2u}2+C\\ =\frac{2r^2sin (arcsin\frac{x}r)\sqrt{1-sin^2 (arcsin\frac{x}r）}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{2r^2\frac{x}r\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}4+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C\\ =\frac{rx\sqrt{1-(\frac{x}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{x}r}2+C
u=arcsinrx∫r2−x2dx=42r2sin u1−sin2 u+2r2u+C=42r2sin(arcsinrx)1−sin2(arcsinrx）+2r2arcsinrx+C=42r2rx1−(rx)2+2r2arcsinrx+C=2rx1−(rx)2+2r2arcsinrx+C
最后定积分的牛顿莱布尼兹公式代进去：
F
(
r
)
=
r
2
1
−
(
r
r
)
2
2
+
r
2
a
r
c
s
i
n
r
r
2
+
C
=
r
2
1
−
(
1
)
2
2
+
r
2
a
r
c
s
i
n
1
2
+
C
=
0
+
r
2
a
r
c
s
i
n
1
2
+
C
=
r
2
π
4
+
C
F
(
−
r
)
=
r
2
1
−
(
−
r
r
)
2
2
+
r
2
a
r
c
s
i
n
−
r
r
2
+
C
=
r
2
1
−
(
−
1
)
2
2
+
r
2
a
r
c
s
i
n
−
1
2
+
C
=
0
+
r
2
a
r
c
s
i
n
−
1
2
+
C
=
−
r
2
π
4
+
C
F(r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ 1}2+C=\frac{r^2\pi}4+C\\ F(-r)=\frac{r^2\sqrt{1-(\frac{-r}r)^2}}2+\frac{r^2arcsin\frac{-r}r}2+C\\ =\frac{r^2\sqrt{1-(-1)^2}}2+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C\\ =0+\frac{r^2arcsin\ -1}2+C=-\frac{r^2\pi}4+C\\
F(r)=2r21−(rr)2+2r2arcsinrr+C=2r21−(1)2+2r2arcsin 1+C=0+2r2arcsin 1+C=4r2π+CF(−r)=2r21−(r−r)2+2r2arcsinr−r+C=2r21−(−1)2+2r2arcsin −1+C=0+2r2arcsin −1+C=−4r2π+C
所以半圆的面积就是：
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
d
x
=
F
(
r
)
−
F
(
−
r
)
=
π
r
2
2
\int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\frac{\pi r^2}2
∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=2πr2
那么圆的面积就是：
2
∫
−
r
r
r
2
−
x
2
d
x
=
F
(
r
)
−
F
(
−
r
)
=
π
r
2
2\int^r_{-r} \sqrt{r^2-x^2}dx=F(r)-F(-r)=\pi r^2
2∫−rrr2−x2dx=F(r)−F(−r)=πr2文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-442413.html
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