【高等数学笔记】两类曲线积分、曲面积分的转化

整体思想：局部均匀化，用很小的长度/面积元上一点某个量的数值来代替整个元的数值。

一、曲线积分

（一）弧长的计算公式

设曲线$\Gamma$的参数方程为$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$。令$\mathbf{r}=(x,y,z)$，则方程为$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$。

定理1 设在$[\alpha ,\beta ]$上$\dot{\mathbf{r}}(t)$连续且$\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0$，则曲线$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha \le t\le \beta )$是可求长的曲线，且$\Gamma$的长度为$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \text{d}t$$

证明提要：在$\Gamma$上取$n-1$个点$P_i$，令$B=P_n$，$P_i$对应$t_i$，$t_0=\alpha$，$t_n=\beta$。则$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert P_{i-1}{P}_i\Vert$$而根据拉格朗日中值定理$\Vert P_{i-1}{P}_i\Vert =\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\eta }_i){]}^2+[\dot{z}({\zeta }_i){]}^2}\Delta t_i\approx \Vert \dot{\mathbf{r}}(t_{\xi })\Vert \Delta t_i$，故$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert P_{i-1}{P}_i\Vert =\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}(t_{\xi })\Vert \Delta t_i={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \text{d}t$$

（二）第一型曲线积分

定义：${\int }_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k$，其中$d$是分点间距离的最大值。

第一型线积分的计算公式：${\int }_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}\text{d}t={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\mathbf{r}(t))\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \text{d}t$。

注：$\beta \ge \alpha$，积分结果与曲线方向无关。

（三）第二型曲线积分

定义：设$(C)$是向量场$\mathbf{A}(M)$所在区域的一条以$A$为起点、$B$为终点且可求长的有向曲线，$\mathbf{A}(M)$在$(C)$上有界。在$C$上自起点$A$（记作$M_0$）到终点$B$（记作$M_n$）依次插入$n-1$个分点$M_1,M_2,\cdots ,M_{n-1}$，把$(C)$分成$n$个有向小线段。在每一有向小弧段$\stackrel{⌢}{M_{k-1}{M}_k}$上任取一点${\overline{M}}_k$，作点积$\mathbf{A}({\overline{M}}_k)\cdot M_{k-1}{M}_k$；无论$(C)$被如何划分，${\overline{M}}_k$如何选取，当所有弧段的最大长度$d\to 0$时上述和式都趋于同一常数，则称此即限值为向量值函数（或向量场）$\mathbf{A}(M)$沿又向曲线$(C)$的第二型曲线积分，记作$${\int }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\mathbf{A}({\overline{M}}_k)\cdot M_{k-1}{M}_k$$
性质：
(1) $(C)$的方向反过来（记作$(-C)$），积分的值变号。
(2) 设$A,B,P$为曲线$(C)$上任意三点，则$${\int }_{(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}={\int }_{(\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}})}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}+{\int }_{(\stackrel{⌢}{\mathrm{PB}})}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$$
计算：设$\mathbf{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，并设曲线$(C)$有参数方程$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，则 ∫ ( C ) A ( M ) ⋅ d s = ∫ ( C ) ( P , Q , R ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = ∫ ( C ) P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z = ∫ α β { P [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] x ˙ ( t ) + Q [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] y ˙ ( t ) + R [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] z ˙ ( t ) } d t \begin{aligned}\int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bm{\bold ds}&=\int_{(C)}(P,Q,R)\cdot(\text dx,\text dy,\text dz)\\&=\int_{(C)}P(x,y,z)\text dx+Q(x,y,z)\text dy+R(x,y,z)\text dz\\&=\int_\alpha^\beta\left\{P\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot x(t)+Q\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot y(t)+R\left[x(t),y(t),z(t)\right]\dot z(t)\right\}\text dt\end{aligned} ∫(C)​A(M)⋅ds​=∫(C)​(P,Q,R)⋅(dx,dy,dz)=∫(C)​P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫αβ​{P[x(t),y(t),z(t)]x˙(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y˙​(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z˙(t)}dt​

（四）第二型曲线积分转为第一型曲线积分

比较两个积分的计算公式：$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}\text{d}t$$$${\int }_{(C)}(P,Q,R)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}={\int }_{\alpha }^{\beta }[P\dot{x}(t)+Q\dot{y}(t)+R\dot{z}(t)]\text{d}t$$比较右端得$$f(x,y,z)=\frac{P\dot{x}(t)+Q\dot{y}(t)+R\dot{z}(t)}{\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}}$$
例 设$(C)$为曲线$x=t,y=t^2,z=t^3$上从点$(1,1,1)$到点$(0,0,0)$的一段弧，把第二型线积分${\int }_{(C)}(P,Q,R)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$化为第一型线积分。

解：$\dot{x}(t)=1,\dot{y}(t)=2t,\dot{z}(t)=3t^2$。$t:1\to 0$，不满足$\beta \ge \alpha$，要加负号。则$$f(x,y,z)=-\frac{P+2tQ+3t^{2}R}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}$$一般第一型线积分的式子中不含$t$，所以要把$t$化成$x,y,z$：$$f(x,y,z)=-\frac{P+2xQ+3yR}{\sqrt{1+4x^2+9y^2}}$$

二、曲面积分

（一）第一型面积分

定义：$\underset{(S)}{\iint }f(x,y,z)\text{d}S=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta S_k$。

计算公式：
(1) 参数方程$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}$：$$\underset{(S)}{\iint }f(x,y,z)\text{d}S=\underset{(\sigma )}{\iint }f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \text{d}u\text{d}v$$(2)直角坐标方程$z=z(x,y)$：$$\underset{(S)}{\iint }f(x,y,z)\text{d}S=\underset{(\sigma )}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y$$
注：第一型面积分的结果与曲面的内外方向无关。

（二）第二型面积分

定义：设在向量场$\mathbf{A}(M)$的场域中有一可求面积的有向曲面$(S)$，指定它的一侧。把曲面$(S)$任意划分成$n$小片$(\Delta S_1),(\Delta S_2),\cdots ,(\Delta S_n)$。任取一点$M_k\in (\Delta S_k)$，作点积$\mathbf{A}(M_k)\cdot {\mathbf{e}}_n\Delta s_k(k=1,2,\cdots ,n)$，其中${\mathbf{e}}_n(M_k)$是曲面在点$M_k$处指向给定侧的单位法向量，$\Delta S_k$表示$(\Delta S_k)$的面积。作和式$\sum _{k=1}^n\mathbf{A}(M_k)\cdot {\mathbf{e}}_n(M_k)\Delta s_k$，如果不论曲面$(S)$怎样划分，点$M_k$在$(\Delta S_k)$上怎样选取，当各小曲面$(\Delta S_k)$直径的最大值$d\to 0$时上述和式都趋于同一常数，则称此极限值为向量场$\mathbf{A}(M)$沿有向曲面$(S)$的第二型曲面积分，记作$$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\mathbf{A}(M_k)\cdot {\mathbf{e}}_n(M_k)\Delta S_k$$其中$\mathbf{d}\mathbf{S}={\mathbf{e}}_n\text{d}S$称为曲面面积微元向量。

在直角坐标系中，令$\mathbf{A}(M)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，${\mathbf{e}}_n(M)=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，则有$$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=\underset{(S)}{\iint }P(x,y,z)\cos \alpha \text{d}S+Q(x,y,z)\cos \beta \text{d}S+R(x,y,z)\cos \gamma \text{d}S$$其中$\text{d}S=\Vert \mathbf{d}\mathbf{S}\Vert$。而$\cos \alpha \text{d}S,\cos \beta \text{d}S,\cos \gamma \text{d}S$是曲面面积微元向量$\mathbf{d}\mathbf{S}$在$yOz,zOx,xOy$坐标平面上的有向投影，把它们分别记作$\text{d}y\text{d}z,\text{d}z\text{d}x,\text{d}x\text{d}y$，则$$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=\underset{(S)}{\iint }P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$
上图表示了$\text{d}S\cos \gamma$是$\text{d}S$在$xOy$坐标面的有向投影。可以假设$\text{d}S$为正方形，大小为$\xi \times \eta$，则$\text{d}S\cos \gamma$的大小为$\xi \times \eta \cos \gamma$，所以投影关系成立。

计算：设有向曲面$(S)$的方程为$z=z(x,y)$，$(S)$在$xOy$坐标面上的投影区域为$({\sigma }_{xy})$，则$$\underset{(S)}{\iint }R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\pm \underset{({\sigma }_{xy})}{\iint }R[x,y,z(x,y)]\text{d}{\sigma }_{xy}$$其中${\mathbf{e}}_n$与$z$轴夹角为锐角取正，为钝角时取负。$P,Q$同理。

（三）第二型曲面积分转为第一型曲面积分

$$\underset{(S)}{\iint }\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=\underset{(S)}{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\text{d}S$$
注意曲面$F(x,y,z)=0$的法向量为$\mathbf{n}=(F_x,F_y,F_z)$，曲面$z=f(x,y)$的法向量为$(-f_x,-f_y,1)$。有时可以通过$\text{d}y\text{d}z=\frac{\cos \alpha }{\cos \beta }\text{d}x\text{d}y$，$\text{d}z\text{d}x=\frac{\cos \beta }{\cos \gamma }\text{d}x\text{d}y$将积分化为$xOy$面上的二重积分。

例 把第二型面积分$\underset{(S)}{\iint }P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$化为第一型面积分，其中
(1) $(S)$是平面$3x+2y+2\sqrt{3}z=6$在第一卦限部分的上侧；
(2) $(S)$是抛物面$z=8-(x^2+y^2)$在$xOy$平面上方部分的下侧。

解：
(1) 法向量为$\mathbf{n}=(3,2,2\sqrt{3})$，单位法向量为${\mathbf{e}}_n=\frac{1}{5}(3,2,2\sqrt{3})$，故$$\text{原式}=\underset{(S)}{\iint }(P,Q,R)\cdot {\mathbf{e}}_n\text{d}S=\frac{1}{5}\underset{(S)}{\iint }(3P+2Q+2\sqrt{3}R)\text{d}S$$(2) 法向量为$\mathbf{n}=(-2x,-2y,-1)$，单位法向量${\mathbf{e}}_n=\frac{1}{\sqrt{4(x^2+y^2)+1}}(-2x,-2y,-1)$，故$$\text{原式}=\underset{(S)}{\iint }(P,Q,R)\cdot {\mathbf{e}}_n\text{d}S=\underset{(S)}{\iint }\frac{-1}{\sqrt{4(x^2+y^2)+1}}(2xP+2yQ+R)\text{d}S$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-442820.html

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