【证明】对称矩阵的特征值为实数

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性质 1 对称矩阵的特征值为实数。

证明 设复数矩阵 X = ( x i j ) \boldsymbol{X} = (x_{ij}) X=(xij) x ‾ i j \overline{x}_{ij} xij x i j x_{ij} xij 的共轭复数,记 X ‾ = ( x ‾ i j ) \overline{\boldsymbol{X}} = (\overline{x}_{ij}) X=(xij),即 X ‾ \overline{\boldsymbol{X}} X 是由 X \boldsymbol{X} X 的对应元素的共轭复数构成的矩阵。

设复数 λ \lambda λ 为对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值,复向量 x \boldsymbol{x} x 为对应的特征向量,即 A x = λ x \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} Ax=λx x ≠ 0 \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0} x=0

λ ‾ \overline{\lambda} λ 表示 λ \lambda λ 的共轭复数,而 A \boldsymbol{A} A 为实矩阵,有 A = A ‾ \boldsymbol{A} = \overline{\boldsymbol{A}} A=A,故
A x ‾ = A ‾ x ‾ = A x ‾ = λ x ‾ = λ ‾ x ‾ (1) \boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}} \tag{1} Ax=Ax=Ax=λx=λx(1)
于是有
x ‾ T A x = x ‾ T ( A x ) = x ‾ T λ x = λ x ‾ T x (2) \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) = \overline{\boldsymbol{x}}^T \lambda \boldsymbol{x} = \lambda \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{2} xTAx=xT(Ax)=xTλx=λxTx(2)
及根据 ( 1 ) (1) (1) 式有
x ‾ T A x = x ‾ T A T x = ( A x ‾ ) T x = ( λ ‾ x ‾ ) T x = λ ‾ x ‾ T x (3) \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{x} = (\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = (\overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{3} xTAx=xTATx=(Ax)Tx=(λx)Tx=λxTx(3)
( 2 ) (2) (2) 式减 ( 3 ) (3) (3) 式,得
( λ − λ ‾ ) x ‾ T x = 0 (\lambda - \overline{\lambda}) \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = 0 (λλ)xTx=0
因为 x ≠ 0 \boldsymbol{x} \ne 0 x=0,所以
x ‾ T x = ∑ i = 1 n x ‾ i x i = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 2 ≠ 0 \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^n \overline{x}_i x_i = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \ne 0 xTx=i=1nxixi=i=1nxi2=0
λ − λ ‾ = 0 \lambda - \overline{\lambda} = 0 λλ=0,即 λ = λ ‾ \lambda = \overline{\lambda} λ=λ,这就说明 λ \lambda λ 是实数。得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-443145.html

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