向量叉乘的几何意义及其模的计算-Toy模板网

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目的：在传统的向量叉乘计算中，常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小，一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义：
外积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，用符号： $\times$ 表示。可以定义为：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \space \space \space \space(1)$
假设两个向量 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 外积,它的方向为 $\overrightarrow{c}$ 。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
它的定义也可以写成：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} \space \space \space \space(2)$
其中 $\theta$ 为两个向量的夹角 $0\le \theta \le 180$ ； $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ 分别为两个向量 $\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}$ 的模长。 $\overrightarrow{n}$ 为垂直于 $\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}$ 所在平面的法向量，且它满足右手定则。如下图：
向量叉乘的几何意义及其模的计算
上面的定义很好理解。但是一般在代数计算两个向量的叉乘，会用到行列式计算。就如一组单位积 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ ;其中 $\overrightarrow{a}=a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}$ ; $\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}$
在计算两个向量的叉乘时候，一般用代数方法为：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}) \times(\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}) \\ = a_0b_0(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}) + a_0b_1(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}) + a_0b_2(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k})+ \\ a_1b_0(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i}) + a_1b_1(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}) + a_1b_2(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}) + \\ a_2b_0(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}) + a_2b_1(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{j}) + a_2b_2(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}) \space \space \space \space(3)$

因为基向量 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ 两两垂直，且为单位向量。 $\overrightarrow{0}$ 表示都为 $0$ 的向量。所以得到：
$\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(4) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(5) \\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0} \space \space \space \space(6) \\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{k} \space \space \space \space(7) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i} \space \space \space \space(8)\\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{j} \space \space \space \space(9)$
将 $(4) (5) (6) (7) (8) (9)$ 代入公式 $(3)$ 得到如下：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -a_0b_0\overrightarrow{0}+a_0b_1\overrightarrow{k}-a_0b_2\overrightarrow{j} \\ - a_1b_0\overrightarrow{k}-a_1b_1\overrightarrow{0} +a_1b_2\overrightarrow{i} \\ +a_2b_0 \overrightarrow{j} - a_2b_1\overrightarrow{i} -a_2b_2\overrightarrow{0}\\ =(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} \space \space \space \space(10)$

公式的 $(10)$ ，在日常用行列式计算表达。使用 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ 的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =\begin{bmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_0& a_1 & a_2 \\ b_0& b_1 & b_2 \end{bmatrix} = (a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k}$

因为它为基向量，在欧式几何中，它的表达为：
$\overrightarrow{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}; \overrightarrow{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix};\overrightarrow{k}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \space \space \space \space(11)$
因此 $(11)$ 代入到 $(10)$ 得到：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(12)$

上面是基于基向量的表达，它和上面的公式对应，因此可以得到：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(13)$

在一些应用，经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_2 & a_1 \\ a_2& 0 & -a_0 \\ -a_1& a_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \space \space \space \space(14)$

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
假设 $\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b}$ 为二维向量。这样易于解释。因此画图如下：

向量叉乘的几何意义及其模的计算
计算三角形面积为：
$|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta) \space \space \space \space(15)$

转化一下表达，因为 $sin(\theta)$ 不好计算，需要计算 $cos(\theta)$ 。

向量叉乘的几何意义及其模的计算
其中 $|\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}|$ ; $|\overrightarrow{b}|sin(\theta)=|\overrightarrow{b}'|cos(\theta')$ ;

$|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos(\theta') \space \space \space \space(16)$
其中 $\theta'+\theta=90$ .且 $|\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}|$ ,容易得到公式简化，简化上述等式为：
$|area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}'|cos(\theta')=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}'=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b} \space \space \space \space(17)$

因为 $\overrightarrow{a}'$ 是通过 $\overrightarrow{a}$ 旋转90度得到的，如下图。

向量叉乘的几何意义及其模的计算

因此假设 $\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix}$ 得到 $\overrightarrow{a}'=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix}$

因此得到公式：
$2|area|=\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \end{bmatrix} = a_0b_1-a_1b_0 \space \space \space \space(18)$