线性代数（魏福义）——第二章：矩阵及其向量特征-Toy模板网

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第二章矩阵及其数字特征

矩阵是一个矩形数表，它是研究线性方程组、向量及其变换的重要工具

2.1 矩阵的概念

在数学中，矩阵是一个按照长方形排列的复数或实数集合，它是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，从而使问题的表述更加简洁。

2.1.1 矩阵

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

横向各排称为行(row):纵向各排称为列(column)，mXn 个数称为矩阵A的元素(element) 。

所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O，通常用大写黑体字母表示矩阵，小写英文字母表示矩阵的元素。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵

方阵中，左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元素称为矩阵的对角元素，主对角线元素之和称为矩阵的迹(trace)，记为tr(A)。

2.1.2 矩阵的分块

把一个矩阵A划分为一些小矩阵，称为矩阵的分块，矩阵A称为分块矩阵。

分块矩阵是指用横线和竖线将矩阵分成若干个子矩阵，以子矩阵为元素的矩阵

2.1.3 准对角矩阵

主对角线位置是方阵 Aii(i=1，2，···，s)，其余地方是零矩阵的矩阵A称为准对角矩阵

2.1.4 上三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵

主对角线下方元素都为零的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix);

主对角线上方和下方的元素都为零的方阵称为对角矩阵(diagonal matrix);

对角线上元素都为 1的 n阶对角矩阵称为n 阶单位矩阵(identity matrix)，记为In或En（n都是角标）

线性方程组的矩阵形式：

利用向量内积，方程x+2y=3可以表示成

则上面的形式可以简写为AX=b.

其中矩阵A称为方程组的系数矩阵

称为方程组的增广矩阵

向量组的矩阵形式：

2.2 矩阵的线性运算

2.2.1 矩阵的线性运算

实数a 可以记为(a)，只有一行一列，称为单元素矩阵

n 维行向量(a1，a2，…，an)是1行n列的矩阵，称为行矩阵

下图n维列向量是n行1列的矩阵，称为列矩阵

矩阵的加法、减法、数乘运算，统称为矩阵的线性运算

定义2.2.1：矩阵相等

两个矩阵相等是指两个矩阵有相同的行数与列数，且对位置的元素相等。

定义2.2.2：矩阵的加（减）法运算

称为A与B的和矩阵，这种运算称为矩阵的加法运算。

注意:只有当两个矩阵的行数与列数分别相等时才可以作加法运算，这样的两个矩阵称为同型矩阵。

矩阵加法满足下列运算规律(其中A，B，C是m×n 矩阵):

(1)A+B=B+A;

(2)(A+B)+C=A+(B+C).

设矩阵A=(aij)，记-A=(-aij)，把矩阵-A 称为矩阵 A 的负矩阵，计算可得：

A+(-A)=0

由此定义矩阵的减法运算：

A-B=A+(-B)

定义2.2.3：数乘矩阵

该矩阵称为数λ与A的乘积，也称数乘矩阵。

2.2.2 矩阵的转置

定义2.2.4：转置矩阵

把矩阵A的各行变成同序数的各列得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作 A^T

定义2.2.5：对称矩阵

三个规律都好理解。

2.3 矩阵的乘法（1）

矩阵运算是把矩阵当作一个“量”来进行运算，使得普通的运算得到很大的简化，而矩阵乘法运算的引入，使得矩阵的理论得到迅速发展和广泛的应用.

由上例得到，左边的行矩阵乘以右边的列矩阵，可以规定为左边行矩阵与右边列矩阵的内积。

这就是上面的例子要解释的。

2.3.1 乘法运算

m个方阵A相乘，就称为A的幂矩阵，记为A^m

矩阵乘法满足运算规律：

2.4 矩阵的乘法（2）

即矩阵乘法不满足交换律

因此，对向量所作的两个线性变换的合成也不可以交换顺序(线性交换及其合成见第三章).

乘法与向量的变换

这个Rθ就称为旋转变换矩阵。

向量α=（1 2）^T旋转θ度后得到的向量用矩阵表示就是：

可以带入数据算一算。

就是说有这么一个矩阵，你用任何别的矩阵乘它，就等于某种变换。旋转矩阵就是用来旋转向量的矩阵，使用向量乘这个旋转矩阵就能得到旋转后的向量。暂时知道有这么一种东西就行。
同理有别的矩阵像旋转矩阵一样，如投影矩阵。

线性变换的矩阵

这个矩阵A与（1，1，1 ）T相乘，会将z方向的量变成0，不就是投影了么。

比如：点（2，3）投影到x轴上是什么？（2，0）

非零零因子，且消去律不成立

什么是非零的零因子？

如果存在两个非零的矩阵A和B，使得它们的乘积AB等于零矩阵，即AB=0，则称矩阵A和B是非零的零因子。

一般来说0x任何数都是0，但是在这里A、B都不是0，结果却是0，因为A、B是0的两个因子，本身又不为0，所以说是“ 非零的零因子”

消去律不成立？

AB=BC，可以推出A=C，这就是消去律，把B消去了。但是这里的话AB=AC，即A（B-C）=0，这个A是不能消掉的，消掉之后得到的就是B=C，题中给了B≠C。
A（B-C）=0，A除以A等于1，但是0除以A不一定等于0，这题的AC=0，0除以A结果是C（或者别的），而不一定是0。所以说，矩阵没有除法（结果不唯一，一般没有意义）
不理解就记住就好，矩阵乘法消去律不成立。

2.5 矩阵的初等变换

求解二元一次或三元一次方程组时，为了达到消元的目的，可作如下三种变换:

(1)互换两个方程的位置;

(2)把某一个方程两边同乘以一个非零常数 k;

(3)把某一个方程两边同乘以一个非零常数k后，加到另一个方程上

易知，上述三种变换所得到的方程组的解与原方程组的解相同。这种变换称为方程组的同解变换·

线性方程组可以通过这些变换得到解，而矩阵表示的线性方程组（增广矩阵）也可以施行相应的变换达到消元的目的。

2.5.1 矩阵的初等变换

初等变换

互逆变换：

例：

跟线性方程组道理一样，都是一样的消元方法。

2.6 初等矩阵

初等矩阵是一个可以通过对单位矩阵进行一次初等行（列）变换得到的矩阵。

其中初等行（列）变换可以是交换两行（列）得到对换型初等矩阵、用非零常数乘以一行（列）得到数乘型初等矩阵或用一行（列）加上另一行（列）的若干倍得到消元型初等矩阵。对应三种初等变换。

2.6.1 初等行变换等于初等矩阵左乘该矩阵

对矩阵实施一次初等行变换，相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵实施一次初等列变换，相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵。

A左乘B就是A×B，A右乘B就是B×A，结果不同。
就像前面2.4中说的，对一个矩阵进行变换可以由变换矩阵乘要变换的矩阵，得到结果。

2.7 矩阵的化简与三类重要矩阵

矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，它可以化简矩阵，从而解决矩阵和向量组的秩、矩阵的逆以及线性方程组求解等一系列的问题。

通常把矩阵化简为如下三种形式之一.

2.7.1 行阶梯形矩阵

第一行一个0（第一个非零元素前），第二行2个，第三行3个，第四行4个。
第一行0个，第二行2个，第三行5个...

2.7.2 行最简形矩阵

1所在列的其他元素为0

2.7.3 矩阵等价

2×3+9=4×6-9，则2×3+9与4×6-9等价。

2.7.4 等价标准形

每一个矩阵都有唯一的等价标准形。

2.8 二阶行列式与三阶行列式的概念和几何意义

行列式是方阵的一个数字特征，在求解线性方程组和空间坐标变换中起着重要作用.

2.8.1 二阶行列式

2.8.2 三阶行列式

2.8.3 二阶行列式与三阶行列式的几何意义

为什么呢？
两个向量为邻边可以构成一个平行四边形，

（图片来自马同学 (matongxue.com)）

a1×b2是一个矩形的面积，如图将两块阴影部分移到对应位置，形成一个平行四边形，而多余的部分加上重叠的一小块恰好是一个小矩形，这个小矩形的面积也很容易看出来，就是a2×b1

2.9 n阶行列式的定义

2.9.1 n阶行列式的定义

2.9.2 二阶行列式与三阶行列式的关系

三阶行列式等于第一行的每个元素与其代数余子式的乘积之和

2.9.3 n阶行列式的递归定义

性质①

计算行列式时，行列式中零越多，越容易算;

如果有一行(列)元素全部为零，则行列式等于零，

上三角行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积。

2.9.4 n阶行列式的几何意义

2.10 行列式的性质

利用行列式的递归定义容易展开行列式，但用展开式计算行列式时计算量较大。为了简化行列式的计算，本节介绍行列式的性质，讨论初等变换对行列式的值的影响。

2.10.1 初等变换

对行列式也可以使用这三种变换。

2.10.2 行列式的性质

①行列式转置后，其值不变

②互换行列式的两行(列)，行列式改变符号

如两个列向量构成行列式 | α , β | ——表示从α到β(逆时针)的平行四边形的“有向面积”，交换α，β位置得到| β , α | ，| α , β | 表示的是一个平行四边形的有向面积，| β , α |就也表示这个面积，只是方向与之前相反了。

推论 2.10.1：

行列式有两行(列)的对应元素完全相同，则行列式为零，

2.10.3 某列全乘k，行列式变为原来的k倍

行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数 k，行列式变为原来的k倍。

推论2.10.2：

行列式中两行（列）的元素与另一行（列）对应元素成比例，行列式等于零。

2.10.4 某一行与另一行的代数余子式的乘积之和等于零

行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.

2.10.5 行列式的某一行(列)的每个元素乘以同一个数k后加到另一行(列)对应元素上，行列式的值不变.

2.10.6 设A，B为n阶方阵，则|AB|=|A|·|B|

设A，B为n阶方阵，则|AB|=|A|·|B|

证明略。

2.11 行列式的计算

2.11.1 三角行列式

2.11.2 行列式的计算

利用初等变换，把行列式变换为三角行列式，就能比较简单地计算出行列式的值。计算时，通常先把第一列化为上三角行列式的第一列，再把第二列化为上三角行列式的第二列······;

在化每一列时，通常先把该列中主对角线上的元素化为它下方所有元素的公因子，再用性质 2.10.5 把它下方所有元素化为零.

2.11.3 行列式的计算技巧

过程：

首列乘3，把9提出来，可以这样做是因为行列式某列乘k等于k乘这整个个行列式。
随后将首列乘-2加到其余各列上，得到一个下三角行列式

矩阵和行列式是两个数学概念，它们之间有联系也有区别。
联系：
行列式是一种标量值，而矩阵是一种数组形式。
矩阵的行和列可以看做是一个向量，而行列式则是一个标量。
一个n阶矩阵对应一个n阶行列式，一个n阶行列式也对应一个n阶矩阵。
区别：
行列式只适用于方阵，而矩阵可以是任意大小的矩形数组。
行列式的计算涉及到行列的排列组合，而矩阵的计算涉及到矩阵乘法、加法、逆等运算。
行列式的值可以为任何实数，而矩阵的值只能是一个特定的数域（如实数、复数、有限域）中的元素。
总的来说，行列式和矩阵在数学上有联系，但是它们的应用领域和计算方法有所不同。行列式主要用于线性代数中的方程组求解和向量空间的性质研究，而矩阵则是计算机科学和应用数学中广泛使用的数学工具，用于描述线性方程、线性变换、图形变换等。

2.12 克莱姆法则

2.12.1 克莱姆法则

克莱姆法则是一种用于求解线性方程组的方法，可以用于求解未知数个数与方程个数相等的线性方程组。

证明：

xj的系数是D（某行乘其代数余子式之和），其他的x系数都是0（某一行与另一行的代数余子式的乘积之和等于零）

如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则该方程组有唯一零解。

此式由 |A|xj=|Aj| 化来，则若|A|为0，xj可以是任意的，也就是不止一组解，即有非零解；若|A|不为0，因为是其次的，常数项都是0，所以|Aj|是0，xj都是0

2.13 可逆矩阵

2.13.1 可逆矩阵的定义

如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一

2.13.2 可逆矩阵的性质

如果方阵4 可逆，且AB=I，则BA=I.

2.14 可逆矩阵的求法（1）

2.14.1 伴随矩阵

证明：https://blog.csdn.net/codinghappiness/article/details/91040254

2.14.2 伴随矩阵与逆矩阵

由此得：

2.15 可逆矩阵得求法（2）

2.16 矩阵的秩（1）

2.16.1 k阶子式

2.16.2 矩阵的秩

对于一个矩阵A，如果存在一个r阶子式D不等于零，且所有r+1阶子式（如果存在）都等于零，那么称D为A的最高阶非零子式。其中，r是一个非负整数。

可以理解为，在A中，存在一个最大的子矩阵，使得该子矩阵的行列式不等于零，而且该子矩阵的任何扩展矩阵的行列式都等于零。

最高阶非零子式是矩阵A的一个重要的性质，因为它与矩阵的秩相关。具体地说，一个矩阵A的秩等于其最高阶非零子式的阶数。

一个m行n列的矩阵，如果其秩为min(m,n)，即行数和列数中的较小值，则称为满秩矩阵。满秩矩阵在矩阵运算中具有很好的性质，如可逆、非奇异等。

2.17矩阵的秩（2）

2.17.1 r(A)=r(B)

若矩阵A与B 等价，则r(A)=r(B)

2.17.2 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数

对于一个行阶梯形矩阵，它的每一行都至少有一个非零元素，且每一行的非零元素都在上一行的非零元素的右边。

因此，对于一个行阶梯形矩阵，如果一行不全为零，则它的非零元素所在的列一定不同于其他行的非零元素所在的列，即每一行的非零元素所在的列都是唯一的。

因此，行阶梯形矩阵的非零行的个数，也就是它的秩，就等于它的非零列的个数，也就是它的列的秩。而矩阵的列秩和行秩是相等的，因此行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数。

比如：

因为第四行都是0，四阶子式肯定都是0。

此三阶子式不为0，矩阵的秩为3.

2.18 向量组与矩阵的秩

n阶行列式不为0可以体现n个n维向量线性无关。这是因为行列式的值可以用来判断一个矩阵的秩，而秩反过来又是用来判断向量组的线性无关性的。如果n阶行列式不为0，那么矩阵的秩就为n，而这个矩阵的每一行都对应一个n维向量，所以这n个向量线性无关。反之，如果n阶行列式为0，那么矩阵的秩就小于n，而这个矩阵的每一行对应的向量组成的向量组中就存在线性相关的向量，即这n个向量线性相关。因此，n阶行列式不为0可以体现n个n维向量线性无关。

设矩阵A为m×n矩阵，则矩阵A的秩等于它列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。

行向量组类似得证。

2.19 矩阵方程

含未知矩阵的方程称为矩阵方程。

对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆，如可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求解未知矩阵。

2.20 特征值与特征向量的概念

在线性代数中，特征值和特征向量是矩阵的两个重要的特征。

特征值（Eigenvalue）：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个n维向量x，使得Ax=λx，那么λ就是矩阵A的特征值。特征值是矩阵A的一个标量，其代表了矩阵A在变换过程中的缩放比例。

特征向量（Eigenvector）：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零n维向量x，使得Ax=λx，那么x就是矩阵A的特征向量。特征向量是一个由数值组成的向量，其代表了矩阵A在变换过程中的方向。

特征向量和特征值在很多领域都有广泛的应用，例如在线性代数、机器学习、信号处理、物理学等领域中，都有着重要的作用。在机器学习中，特征值和特征向量可以用于降维和数据分析，可以帮助我们更好地理解和处理数据。

特征值和特征向量是矩阵的两个重要特征，它们在数学和应用领域中都有着广泛的应用。下面通过一个简单的例子来解释特征值和特征向量的概念。
假设有一个平面上的向量，它的起点为原点，终点为(x, y)。我们可以将这个向量表示为一个二维列向量：
v = [x, y]T
现在假设有一个2x2的矩阵A，它的矩阵元素为：
A = [a, b; c, d]
我们可以将这个矩阵作用于向量v上，得到一个新的向量：
Av = [ax + by, cx + dy]T
现在我们来考虑一种特殊情况，假设存在一个非零向量v，使得矩阵A作用于v上的结果与v本身方向相同，只是长度发生了变化，即：
Av = λv
其中，λ是一个标量，称为矩阵A的特征值；v是一个非零向量，称为矩阵A的特征向量。
换句话说，特征向量v在矩阵A作用下只是发生了缩放，而其方向保持不变。特征值λ表示了这个缩放的比例。
举个例子，假设矩阵A表示一个平移变换，向量v表示一个箭头，它的长度为3，方向为45度。当矩阵A作用于向量v上时，由于矩阵A只是对向量进行平移变换，因此向量v的方向不会改变，只是长度发生了变化。假设矩阵A作用于v上的结果为：
Av = [6, 6]T
那么可以发现，向量v的方向保持不变，只是长度由3变成了6。在这个例子中，向量v就是矩阵A的一个特征向量，而6就是对应的特征值。
总之，特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵在变换过程中的特性，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。

2.21 特征值与特征向量的计算

2.21.1 特征值的计算

齐次线性方程组 (AI - A)X = 0 对应的系数矩阵为 (A - λI)，其中 λ 是 A 的特征值。因此，该方程组有非零解的充分必要条件是 (A - λI) 的行列式等于零，即

det(A - λI) = 0

克莱姆法则

这个方程称为 A 的特征方程，其解即为 A 的特征值 λ。如果 λ 是 A 的特征值，则存在一个非零向量 X 满足 AX = λX，即

(A - λI)X = 0

因此，(AI - A)X = 0 有非零解的充分必要条件是 λ 是 A 的特征值，即 det(A - λI) = 0。

这个结论表明，特征值和特征向量的存在与矩阵的行列式有密切关系。如果一个矩阵 A 有非零的特征值，则该矩阵的行列式必须为零。反之，如果矩阵 A 的行列式为零，则它至少有一个特征值为零。这种关系在实际应用中具有重要意义，例如可以用来判断矩阵是否可逆，或者用来解决线性方程组的求解问题。

可根据det(A - λI) = 0来求特征值

2.21.2 特征向量的计算

特征向量是矩阵的一个重要性质，它与特征值一起用于矩阵的对角化、矩阵的奇异值分解、线性变换的分析等方面。特征向量的计算方法可以通过以下步骤进行：

对于一个 n × n 的矩阵 A，先求出其特征值 λ，即解特征方程 det(A-λI) = 0。

对于每个特征值 λ，求出其对应的特征向量 v。特征向量是一个非零向量，满足

(A-λI)v = 0

其中，0 表示零向量。特征向量可以通过高斯消元或其他方法求解。

对于每个特征值 λ，可能存在多个对应的特征向量，我们通常只需要选择其中一个基本特征向量，并将其归一化。一个非零向量可以通过将其除以其长度来进行归一化，即

v' = v / ||v||

其中，||v|| 表示向量 v 的长度或模长。

将每个特征值和其对应的特征向量组成一个特征对 (λ, v)。

例子：

假设有一个 2 × 2 的矩阵 A，其元素为

A =
| 2 1 |
| 1 2 |

我们来计算矩阵 A 的特征值和特征向量。

首先，求解特征值 λ，即解特征方程 det(A - λI) = 0，得到

det(A - λI) =
| 2-λ 1 |
| 1 2-λ | = (2-λ)(2-λ) - 1 = λ^2 - 4λ + 3 = 0

解这个二次方程得到 λ1 = 1，λ2 = 3，这就是矩阵 A 的两个特征值。

接着，我们分别求解 λ1 和 λ2 对应的特征向量。

当 λ = λ1 = 1 时，我们需要求解齐次线性方程组 (A - λI)X = 0，即

(A - λI)X =
| 2-1 1 |
| 1 2-1 | X =
| 1 1 |
| 1 1 | X = 0

将上述矩阵化为行阶梯形式后，得到一个自由变量，可以得到一个特解

X1 =
| -1 |
| 1 |

那么，λ1 对应的特征向量为

v1 = X1 / ||X1|| =
| -1/sqrt(2) |
| 1/sqrt(2) |

类似地，当 λ = λ2 = 3 时，我们需要求解齐次线性方程组 (A - λI)X = 0，即

(A - λI)X =
| 2-3 1 |
| 1 2-3 | X =
| -1 1 |
| 1 -1 | X = 0

将上述矩阵化为行阶梯形式后，得到一个自由变量，可以得到一个特解

X2 =
| 1 |
| 1 |

那么，λ2 对应的特征向量为

v2 = X2 / ||X2|| =
| 1/sqrt(2) |
| 1/sqrt(2) |

因此，矩阵 A 的特征对为 (1, v1) 和 (3, v2)。

2.22 特征值的性质

设 λ 是方阵 A 的特征值，v 是其对应的特征向量，则 kλ 是方阵 kA 的特征值，v 是其对应的特征向量。

这个性质表明，对于一个矩阵 A，如果它有一个特征值 λ 和对应的特征向量 v，那么当我们将矩阵 A 乘以一个常数 k 时，它的特征值变为 kλ，对应的特征向量仍为 v。

当矩阵 A 可逆时，其逆矩阵 A^-1 的特征值为 1/λ，其对应的特征向量为 v。

这个性质表明，如果矩阵 A 可逆，且它有一个特征值 λ 和对应的特征向量 v，那么它的逆矩阵 A^-1 的特征值为 1/λ，对应的特征向量仍为 v。

设 λ 是方阵 A 的特征值，v 是其对应的特征向量，则 λ^2 是方阵 A^2 的特征值，v 是其对应的特征向量。

这个性质表明，对于一个矩阵 A，如果它有一个特征值 λ 和对应的特征向量 v，那么当我们将矩阵 A 平方后，它的特征值变为 λ^2，对应的特征向量仍为 v。

设 λ 是方阵 A 的特征值，则 λ 是其转置矩阵 AT 的特征值。

这个性质表明，对于一个矩阵 A，如果它有一个特征值 λ，那么它的转置矩阵 AT 也有特征值 λ。

证明：

2.23 特征向量的性质

1.若 a1，a2 都是方阵 A 的对应于特征值入的特征向量则它们的非零线性组合 k1a1 十k2a2 也是方阵 A 的对应于特征值入的特征向量。

证明：

设 A 是一个 n 阶方阵，λ 是它的一个特征值，a1 和 a2 是对应于 λ 的两个特征向量，即有：

Aa1 = λa1

Aa2 = λa2

要证明非零线性组合 k1a1 + k2a2 也是对应于 λ 的特征向量，即有：

A(k1a1 + k2a2) = λ(k1a1 + k2a2)

根据矩阵的线性性质，有：

A(k1a1 + k2a2) = k1Aa1 + k2Aa2

= k1λa1 + k2λa2

= λ(k1a1 + k2a2)

因此，k1a1 + k2a2 是对应于 λ 的特征向量，证毕。

这个结论表明，如果 a1 和 a2 是对应于同一个特征值 λ 的两个特征向量，那么它们的任意非零线性组合都是对应于 λ 的特征向量。这个结论在矩阵运算中有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解特征向量的性质和它在实际问题中的应用。

2. 若α1，α2 是方阵A的分别对应于特征值λ1和λ2的特征向量（λ1≠λ2)，则α1、α2 线性无关

证明：

3. 如果方阵 A 有 m 个互异的特征值 λ1, λ2, ..., λm，对应的特征向量分别为 a1, a2, ..., am，那么这些特征向量是线性无关的。

假设存在实数 k1, k2, ..., km，使得 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0。将这个式子左乘 A，得到：

k1Aa1 + k2Aa2 + ... + kmAam = 0

由于 Aa1 = λ1a1, Aa2 = λ2a2, ..., Aam = λmam，因此上式可以写成：

k1λ1a1 + k2λ2a2 + ... + kmλmam = 0

因为 λ1, λ2, ..., λm 互不相同，所以 k1, k2, ..., km 都必须为零才能使上式成立。否则，如果有至少一个 k 的值不为零，那么这个式子就成为了非零向量的线性组合等于零向量，这与 a1, a2, ..., am 是特征向量且非零向量的事实矛盾。

因此，k1 = k2 = ... = km = 0，即 a1, a2, ..., am 线性无关。

2.24 矩阵的数字特征

2.25 数字特征相同的一类矩阵

2.25.1 相似矩阵

相似矩阵是指两个矩阵 A 和 B 满足存在一个可逆矩阵 P，使得 B = P^-1 A P。也就是说，B 和 A 可以通过一次矩阵相似变换 P^-1 A P 而得到。P 被称为相似变换矩阵。称A与B相似。

相似矩阵具有以下性质：

自反性：一个矩阵 A 总是与其自身相似，即 A~A。这是因为存在一个单位矩阵 I，使得 A = I^-1 A I。

对称性：如果矩阵 A 和矩阵 B 相似，即 A~B，则矩阵 B 也与矩阵 A 相似，即 B~A。这是因为如果存在一个可逆矩阵 P，使得 B = P^-1 A P，则 P^-1 B P = A，即存在一个可逆矩阵 P^-1，使得 A = (P^-1)^-1 B (P^-1)^-1。

传递性：如果矩阵 A 与矩阵 B 相似，即 A~B，矩阵 B 与矩阵 C 相似，即 B~C，则矩阵 A 与矩阵 C 相似，即 A~C。这是因为如果存在可逆矩阵 P1 和 P2，使得 B = P1^-1 A P1 和 C = P2^-1 B P2，则有 C = P2^-1 P1^-1 A P1 P2，即存在一个可逆矩阵 P = P1 P2，使得 C = P^-1 A P。

2.25.2 矩阵的对角化

对n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，则称A与对角矩阵相似，或称A可对角化。

n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

充分性：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则可以将它们组成可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素分别是矩阵A的n个特征值。因此，当一个矩阵存在n个线性无关的特征向量时，它就可对角化。

必要性：如果矩阵A可对角化，则存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素分别是矩阵A的n个特征值。由于D是对角矩阵，因此对角线上的每个元素都是一个特征值。又因为每个特征值对应至少一个特征向量，所以矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，才能将它们组成P。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-443521.html

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线性代数（魏福义）——第二章：矩阵及其向量特征

第二章 矩阵及其数字特征

2.1 矩阵的概念

2.1.1 矩阵

2.1.2 矩阵的分块

2.1.3 准对角矩阵

2.1.4 上三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵

线性方程组的矩阵形式：

向量组的矩阵形式：

2.2 矩阵的线性运算

2.2.1 矩阵的线性运算

定义2.2.1：矩阵相等

定义2.2.2：矩阵的加（减）法运算

定义2.2.3：数乘矩阵

2.2.2 矩阵的转置

定义2.2.4：转置矩阵

定义2.2.5：对称矩阵

2.3 矩阵的乘法（1）

2.3.1 乘法运算

2.4 矩阵的乘法（2）

乘法与向量的变换

线性变换的矩阵

非零零因子，且消去律不成立

2.5 矩阵的初等变换

2.5.1 矩阵的初等变换

2.6 初等矩阵

2.6.1 初等行变换等于初等矩阵左乘该矩阵

2.7 矩阵的化简与三类重要矩阵

2.7.1 行阶梯形矩阵

2.7.2 行最简形矩阵

2.7.3 矩阵等价

2.7.4 等价标准形

2.8 二阶行列式与三阶行列式的概念和几何意义

2.8.1 二阶行列式

2.8.2 三阶行列式

2.8.3 二阶行列式与三阶行列式的几何意义

2.9 n阶行列式的定义

2.9.1 n阶行列式的定义

2.9.2 二阶行列式与三阶行列式的关系

2.9.3 n阶行列式的递归定义

性质①

2.9.4 n阶行列式的几何意义

2.10 行列式的性质

2.10.1 初等变换

2.10.2 行列式的性质

①行列式转置后，其值不变

②互换行列式的两行(列)，行列式改变符号

2.10.3 某列全乘k，行列式变为原来的k倍

2.10.4 某一行与另一行的代数余子式的乘积之和等于零

2.10.5 行列式的某一行(列)的每个元素乘以同一个数k后加到另一行(列)对应元素上，行列式的值不变.

2.10.6 设A，B为n阶方阵，则|AB|=|A|·|B|

2.11 行列式的计算

2.11.1 三角行列式

2.11.2 行列式的计算

2.11.3 行列式的计算技巧

2.12 克莱姆法则

2.12.1 克莱姆法则

2.13 可逆矩阵

2.13.1 可逆矩阵的定义

2.13.2 可逆矩阵的性质

2.14 可逆矩阵的求法（1）

2.14.1 伴随矩阵

2.14.2 伴随矩阵与逆矩阵

2.15 可逆矩阵得求法（2）

2.16 矩阵的秩（1）

2.16.1 k阶子式

2.16.2 矩阵的秩

2.17矩阵的秩（2）

2.17.1 r(A)=r(B)

2.17.2 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数

2.18 向量组与矩阵的秩

2.19 矩阵方程

2.20 特征值与特征向量的概念

2.21 特征值与特征向量的计算

2.21.1 特征值的计算

2.21.2 特征向量的计算

2.22 特征值的性质

2.23 特征向量的性质

2.24 矩阵的数字特征

2.24 矩阵的数字特征

第二章矩阵及其数字特征