上一节 【高数+复变函数】傅里叶积分
回顾：上一节中主要讲了Fourier积分公式的指数形式及其三角形式
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
[
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
e
−
j
ω
τ
d
τ
]
e
j
ω
t
d
ω
=
1
π
∫
0
+
∞
[
∫
−
∞
+
∞
f
(
τ
)
cos
ω
(
t
−
τ
)
d
τ
]
d
ω
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega\\=\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{d} \omega
f(t)=2π1∫−∞+∞[∫−∞+∞f(τ)e−jωτdτ]ejωtdω=π1∫0+∞[∫−∞+∞f(τ)cosω(t−τ)dτ]dω并根据奇函数和偶函数对三角形式进行了进一步的化简：
当
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是奇函数时:
f
(
t
)
=
2
π
∫
0
+
∞
[
∫
0
+
∞
f
(
τ
)
sin
ω
τ
d
τ
]
sin
ω
t
d
ω
.
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \sin \omega t \mathrm{~d} \omega .
f(t)=π2∫0+∞[∫0+∞f(τ)sinωτdτ]sinωt dω.当
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是偶函数时:
f
(
t
)
=
2
π
∫
0
+
∞
[
∫
0
+
∞
f
(
τ
)
cos
ω
τ
d
τ
]
cos
ω
t
d
ω
.
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau \mathrm{d} \tau\right] \cos \omega t \mathrm{~d} \omega .
f(t)=π2∫0+∞[∫0+∞f(τ)cosωτdτ]cosωt dω.并给出了Fourier积分定理需满足的条件：
- 1 ∘ f ( t ) 1^{\circ} f(t) 1∘f(t) 在任一有限区间上满足 Dirichlet 条件;
- 2 ∘ f ( t ) 2^{\circ} f(t) 2∘f(t) 在无限区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞) 上绝对可积 (即积分 ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)| \mathrm{d} t ∫−∞+∞∣f(t)∣dt 收敛)
这一节我们来看傅里叶变换
【高数+复变函数】傅里叶变换
3 傅里叶变换
3.1 基本概念
定义 :若函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)上满足 Fourier 积分定理的条件,则称函数
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
(1.1)
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t \tag{1.1}
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt(1.1)
为f(t)的Fourier 变换，而称函数
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
(1.2)
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega \tag{1.2}
f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω(1.2)
为 F(w)的 Fourier 逆变换。
(1.1)式叫做f(t)的Fourier变换式，可记为 F ( ω ) = F [ f ( t ) ] F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)] F(ω)=F[f(t)], F ( w ) F(w) F(w)叫做 f ( t ) f(t) f(t)的象函数
(1.2)式叫做F(t)的Fourier逆变换式，可记为 f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] f(t)=F−1[F(ω)], f ( t ) f(t) f(t)叫做 F ( w ) F(w) F(w)的象原函数
可以说象函数 F(w)和象原函数f(t)构成了一个 Fourier 变换对,它们有相同的奇偶性
当
f
(
t
)
f(t)
f(t)为奇函数时，有正弦傅里叶变换对：
F
s
(
ω
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
sin
ω
t
d
t
,
f
(
t
)
=
2
π
∫
0
+
∞
F
s
(
ω
)
sin
ω
t
d
ω
(1.3)
F_s\left(\omega\right)=\int_0^{+\infty}f(t)\sin\omega\mathrm{td}t,\quad f(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}F_s(\omega)\sin\omega\mathrm{td}\omega \tag{1.3}
Fs(ω)=∫0+∞f(t)sinωtdt,f(t)=π2∫0+∞Fs(ω)sinωtdω(1.3)
当
f
(
t
)
f(t)
f(t)为偶函数时，有余弦傅里叶变换对：
F
c
(
ω
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
cos
ω
td
t
,
f
(
t
)
=
2
π
∫
0
+
∞
F
c
(
ω
)
cos
ω
td
ω
(1.4)
F_{c}(\omega)=\int_{0}^{+\infty}f(t)\text{cos}\omega\text{td}t,\quad f(t)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}F_{c}(\omega)\text{cos}\omega\text{td}\omega \tag{1.4}
Fc(ω)=∫0+∞f(t)cosωtdt,f(t)=π2∫0+∞Fc(ω)cosωtdω(1.4)
3.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换
在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为 t=0)进入一单位电量脉冲,在普通导数定义下这一点处导数不存在,为了确定这种电路上的电流,必须引进一个新的函数,这个函数称为单位脉冲函数或称为 Dirac 函数
定义 对于任何一个无穷次可微的函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)如果满足
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
lim
ε
→
0
∫
−
∞
+
∞
δ
ε
(
t
)
f
(
t
)
d
t
(1.5)
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)\mathrm{d}t\tag{1.5}
∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=ε→0lim∫−∞+∞δε(t)f(t)dt(1.5)
其中
δ
ε
(
t
)
=
{
0
,
t
<
0
,
1
ε
,
0
≤
t
≤
ε
,
0
,
t
>
ε
,
(1.6)
\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases}0,t<0,\\ {\frac{1}{\varepsilon},0\leq t\leq\varepsilon,}\\ 0,{t>\varepsilon,}\end{cases}\tag{1.6}
δε(t)=⎩
⎨
⎧0,t<0,ε1,0≤t≤ε,0,t>ε,(1.6)
则称
δ
ε
(
t
)
\delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)
δε(t)的弱极限为
δ
−
函数
\delta-函数
δ−函数，简记为：
lim
ε
→
0
δ
ε
(
t
)
=
δ
(
t
)
\operatorname*{lim}_{\varepsilon\to0}\delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)=\delta\left(\boldsymbol{t}\right)
limε→0δε(t)=δ(t)，如下图所示
性质：
-
积分性质：按(1.5)式给出的定义，取 f ( t ) = 1 f(t)=1 f(t)=1,有
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = lim ε → 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ε ( t ) d t = lim ε → 0 ∫ 0 ε 1 ε d t = 1 (1.7) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\left(\boldsymbol{t}\right)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac{1}{\boldsymbol{\varepsilon}}\mathrm{d}t=1\tag{1.7} ∫−∞+∞δ(t)dt=ε→0lim∫−∞+∞δε(t)dt=ε→0lim∫0εε1dt=1(1.7) -
筛选性质：若 f ( t ) f(t) f(t)是无穷次可微的函数，则有：
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = f ( 0 ) . (1.8) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=f(\begin{matrix}0\end{matrix}).\tag{1.8} ∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=f(0).(1.8)
证明：更一般地还成立：
∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) . (1.9) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t-t_0\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=f(\begin{matrix}t_0\end{matrix}).\tag{1.9} ∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0).(1.9)
二维 δ − 函数 \delta-函数 δ−函数的定义方式与性质与此类似。 -
其他性质
1 ∘ δ 1^{\circ} \delta 1∘δ-函数是偶函数, 即 δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(−t).
证明（可以使用筛选性质）：
∫ − ∞ + ∞ δ ( − t ) f ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ δ ( u ) f ( − u ) d u ( 令 u = − t ) = f ( − u ) ∣ u = 0 = f ( 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}-t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}u\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}-u\end{matrix})\mathrm{d}u(令u=-t)=f(-u)|_{u=0}=f(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)f(\begin{matrix}t\end{matrix})\mathrm{d}t ∫−∞+∞δ(−t)f(t)dt=∫−∞+∞δ(u)f(−u)du(令u=−t)=f(−u)∣u=0=f(0)=∫−∞+∞δ(t)f(t)dt所以 δ ( t ) = δ ( − t ) \delta(t)=\delta(-t) δ(t)=δ(−t)
2 ∘ δ 2^{\circ} \delta 2∘δ-函数是单位阶跃函数的导数, 即
∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ = u ( t ) , d d t u ( t ) = δ ( t ) (1.10) \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \mathrm{d} \tau=u(t), \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} u(t)=\delta(t) \tag{1.10} ∫−∞tδ(τ)dτ=u(t),dtdu(t)=δ(t)(1.10)
其中 u ( t ) = { 0 , t < 0 , 1 , t > 0 u(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0, \\ 1, & t>0\end{array}\right. u(t)={0,1,t<0,t>0 称为单位阶跃函数.
证明：
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 ∴ ∫ − ∞ t δ ( t ) d t = 1 , t > 0 且 ∫ − ∞ t δ ( t ) d t = 0 , t < 0 \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=1 \\ \therefore \int_{-\infty}^{t}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=1,t>0\\ 且\int_{-\infty}^{t}\delta\left(t\right)\mathrm{d}t=0,t<0 ∫−∞+∞δ(t)dt=1∴∫−∞tδ(t)dt=1,t>0且∫−∞tδ(t)dt=0,t<0这也就是 u ( t ) u(t) u(t)的形式。
3 ∘ 3^{\circ} 3∘ 若 a a a 为非零实常数, 则 δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) \delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t) δ(at)=∣a∣1δ(t).
利用筛选性质来证明
4 ∘ 4^{\circ} 4∘ 若 f ( t ) f(t) f(t) 为无穷次可微的函数, 则有（利用分部积分证明）
∫ − ∞ + ∞ δ ′ ( t ) f ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) . (1.11) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{\prime}(t) f(t) \mathrm{d} t=-f^{\prime}(0) .\tag{1.11} ∫−∞+∞δ′(t)f(t)dt=−f′(0).(1.11)
一般地, 有
∫ − ∞ + ∞ δ ( n ) ( t ) f ( t ) d t = ( − 1 ) n f ( n ) ( 0 ) (1.12) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(t) f(t) \mathrm{d} t=(-1)^n f^{(n)}(0)\tag{1.12} ∫−∞+∞δ(n)(t)f(t)dt=(−1)nf(n)(0)(1.12)
更一般地,有
∫ − ∞ + ∞ δ ( n ) ( t − t 0 ) f ( t ) d t = ( − 1 ) n f ( n ) ( t 0 ) (1.13) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}\left(t-t_0\right) f(t) \mathrm{d} t=(-1)^n f^{(n)}\left(t_0\right)\tag{1.13} ∫−∞+∞δ(n)(t−t0)f(t)dt=(−1)nf(n)(t0)(1.13)
根据（1.9）很容易求得
δ
−
函数
\delta-函数
δ−函数的Fourier变换
F
(
ω
)
=
F
[
δ
(
t
)
]
=
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
=
e
−
j
ω
t
∣
t
=
0
=
1
F\left(\begin{matrix}\omega\end{matrix}\right)=\mathscr{F}\left[\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(\begin{matrix}t\end{matrix}\right)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-j\omega t}|_{t=0}=1
F(ω)=F[δ(t)]=∫−∞+∞δ(t)e−jωtdt=e−jωt∣t=0=1
可见，单位脉冲函数
δ
(
t
)
\delta(t)
δ(t)和常数1构成了一个Fourier变换对
例题引申：
证明单位阶跃函数
u
(
t
)
=
{
0
,
t
<
0
,
1
,
t
>
0
u(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0, \\ 1, & t>0\end{array}\right.
u(t)={0,1,t<0,t>0 的 Fourier 变换为
1
j
ω
+
π
δ
(
ω
)
\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)
jω1+πδ(ω).
证 事实上,若
F
(
ω
)
=
1
j
ω
+
π
δ
(
ω
)
F(\omega)=\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)
F(ω)=jω1+πδ(ω), 则按 Fourier 逆变换可得
f
(
t
)
=
F
−
1
[
F
(
ω
)
]
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
[
1
j
ω
+
π
δ
(
ω
)
]
e
j
ω
t
d
ω
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
π
δ
(
ω
)
e
i
ω
t
d
ω
+
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
e
j
ω
t
j
ω
d
ω
=
1
2
∫
−
∞
+
∞
δ
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
+
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
=
1
2
+
1
π
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
.
\begin{aligned} f(t) & =\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omega \\ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \pi \delta(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}}{\mathrm{j} \omega} \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} \omega+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega . \end{aligned}
f(t)=F−1[F(ω)]=2π1∫−∞+∞[jω1+πδ(ω)]ejωt dω=2π1∫−∞+∞πδ(ω)eiωt dω+2π1∫−∞+∞jωejωtdω=21∫−∞+∞δ(ω)ejωt dω+2π1∫−∞+∞ωsinωtdω=21+π1∫0+∞ωsinωtdω.
为了说明
f
(
t
)
=
u
(
t
)
f(t)=u(t)
f(t)=u(t), 就必须计算积分
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega
∫0+∞ωsinωtdω. 我们已经知道 Dirichlet 积分
∫
0
+
∞
sin
ω
ω
d
ω
=
π
2
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} d \omega=\frac{\pi}{2}
∫0+∞ωsinωdω=2π, 因此,有
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
=
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
t
d
ω
t
=
{
−
π
2
,
t
<
0
,
0
,
t
=
0
,
π
2
,
t
>
0
,
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega= \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega t} \mathrm{d} \omega t=\begin{cases}-\frac{\pi}{2}, & t<0, \\ 0, & t=0, \\ \frac{\pi}{2}, & t>0,\end{cases}
∫0+∞ωsinωtdω=∫0+∞ωtsinωtdωt=⎩
⎨
⎧−2π,0,2π,t<0,t=0,t>0,
将此结果代入
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的表达式中，当
t
≠
0
t \neq 0
t=0 时可得
f
(
t
)
=
1
2
+
1
π
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
=
{
1
2
+
1
π
(
−
π
2
)
=
0
,
t
<
0
,
1
2
+
1
π
⋅
π
2
=
1
,
t
>
0.
f(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega= \begin{cases}\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0, & t<0, \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}=1, & t>0 .\end{cases}
f(t)=21+π1∫0+∞ωsinωtdω={21+π1(−2π)=0,21+π1⋅2π=1,t<0,t>0.
这就表明
1
j
ω
+
π
δ
(
ω
)
\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)
jω1+πδ(ω) 的 Fourier 逆变换为
f
(
t
)
=
u
(
t
)
f(t)=u(t)
f(t)=u(t). 因此,
u
(
t
)
u(t)
u(t) 和
1
j
ω
+
π
δ
(
ω
)
\frac{1}{\mathrm{j} \omega}+\pi \delta(\omega)
jω1+πδ(ω) 构成了一个 Fourier变换对,所以,单位阶跃函数
u
(
t
)
u(t)
u(t) 的积分表达式在
t
≠
0
t \neq 0
t=0 时, 可写为
u
(
t
)
=
1
2
+
1
π
∫
0
+
∞
sin
ω
t
ω
d
ω
.
u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega} \mathrm{d} \omega .
u(t)=21+π1∫0+∞ωsinωtdω.
同样，若
F
(
ω
)
=
2
π
δ
(
ω
)
F(\omega)=2 \pi \delta(\omega)
F(ω)=2πδ(ω), 则由 Fourier 逆变换可得
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
F
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
2
π
δ
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
=
∫
−
∞
+
∞
δ
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
=
1
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} 2 \pi \delta(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} \mathrm{~d} \omega=1
f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωt dω=2π1∫−∞+∞2πδ(ω)ejωt dω=∫−∞+∞δ(ω)ejωt dω=1
所以,1 和
2
π
δ
(
ω
)
2 \pi \delta(\omega)
2πδ(ω) 也构成了一个 Fourier 变换对. 同理,
e
j
ω
n
t
e^{j \omega_{n^t}}
ejωnt 和
2
π
δ
(
ω
−
ω
0
)
2 \pi \delta\left(\omega-\omega_0\right)
2πδ(ω−ω0) 也构成了一个Fourier 变换对. 由此可得
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
ω
t
d
t
=
2
π
δ
(
ω
)
,
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
(
ω
−
ω
0
)
t
d
t
=
2
π
δ
(
ω
−
ω
0
)
.
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t=2 \pi \delta(\omega), \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-j\left(\omega-\omega_0 ) t\right.} \mathrm{d} t=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_0\right) .
∫−∞+∞e−jωt dt=2πδ(ω),∫−∞+∞e−j(ω−ω0)tdt=2πδ(ω−ω0).
虽然 , 这两个积分在普遍意义下都是不存在的, 这里积分的意义仍是按(1.5) 式来定义的
3.3 非周期函数的频谱
频谱图指的是频率和振幅之间的关系图，即反映不同频率下的振幅是多少，如下图所示：
-
以T为周期的非正弦函数 f T ( t ) f_T(t) fT(t)的频谱
傅里叶级数表示的是原函数被分成了不同频率的谐波，它的第n次谐波为:
a n cos ω n t + b n sin ω n t = A n sin ( ω n t + φ n ) a_n\cos\omega_n t+b_n\sin\omega_n t=A_n\sin(\omega_n t+\varphi_n) ancosωnt+bnsinωnt=Ansin(ωnt+φn)
振幅为：
A n = a n 2 + b n 2 A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} An=an2+bn2
而
∣ c n ∣ = ∣ c − n ∣ = 1 2 a n 2 + b n 2 |c_n|=|c_{-n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ∣cn∣=∣c−n∣=21an2+bn2
所以
A n = 2 ∣ c n ∣ ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) A_{n}=2|c_{n}|(n=0,1,2,\cdots) An=2∣cn∣(n=0,1,2,⋯) -
非周期函数
与前一种类型相区别，在上一节讲的积分公式中，非周期函数是把Fourier积分公式中的连加号转变成求和号，这里也类似，振幅的表示发生了变化。
F ( w ) F(w) F(w)被称为 f ( t ) f(t) f(t)的频谱函数，而频谱函数的模 ∣ F ( w ) ∣ |F(w)| ∣F(w)∣称为 f ( t ) f(t) f(t)的振幅频谱，由于这里 w w w是连续变化的，所以频谱为连续的，与上一种类型中的离散频谱不同，如下图所示。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-443580.html
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