（1）设A为方阵，则A与
A
T
A^{T}
AT有相同的特征值。
此处用到了两个关键性质，一：单位阵的转置为其本身,二：转置并不改变行列式的值。
（2）：
设n阶方阵A=（
a
i
j
a_{ij}
aij）的n个特征值为
λ
1
\lambda_{1}
λ1,
λ
2
\lambda_{2}
λ2,…
λ
n
\lambda_{n}
λn,则
λ
1
+
λ
2
+
λ
3
+
.
.
.
λ
n
=
a
11
+
a
22
+
a
33
+
.
.
.
+
a
n
n
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+...\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn}
λ1+λ2+λ3+...λn=a11+a22+a33+...+ann
(2)
λ
1
∗
λ
2
∗
λ
3
∗
λ
n
=
∣
A
∣
\lambda_{1}*\lambda_{2}*\lambda_{3}*\lambda_{n}=|A|
λ1∗λ2∗λ3∗λn=∣A∣
该证明用到高中时期的多项式的乘法规律。更关键的是明白 λ \lambda λ是 ∣ λ ∗ E − A ∣ = 0 |\lambda*E-A|=0 ∣λ∗E−A∣=0的根
设A为n阶方阵，
λ
1
\lambda_{1}
λ1,
λ
2
\lambda_{2}
λ2,
λ
3
\lambda_{3}
λ3,…,
λ
m
\lambda_{m}
λm为A的m个不同特征值，
a
1
,
a
2
,
a
3
.
.
.
a
m
a_{1},a_{2},a_{3}...a_{m}
a1,a2,a3...am分别为A的对应于
λ
1
\lambda_{1}
λ1,
λ
2
\lambda_{2}
λ2,
λ
3
\lambda_{3}
λ3,…,
λ
m
\lambda_{m}
λm的特征向量，则
a
1
,
a
2
,
a
3
.
.
.
a
m
a_{1},a_{2},a_{3}...a_{m}
a1,a2,a3...am线性无关。
该证明采用数学归纳法
证明如下：
设n阶方阵A的相异特征值为
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
.
λ
n
\lambda_{1},\lambda_{2},....\lambda_{n}
λ1,λ2,....λn,对应于
λ
i
\lambda_{i}
λi的线性无关的特征向量为
a
i
1
,
a
i
2
,
a
i
3
.
.
.
a
i
m
a_{i1},a_{i2},a_{i3}...a_{im}
ai1,ai2,ai3...aim，则向量组
a
i
1
,
a
i
2
,
a
i
3
.
.
.
a
i
m
a_{i1},a_{i2},a_{i3}...a_{im}
ai1,ai2,ai3...aim线性无关。
用一句话说就是，无关的无关还是无关。
其推导过程与上式类似。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-444540.html
K重特征根对应的线性无关的特征向量的个数小于等于K文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-444540.html
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