0702可分类变量的微分方程-微分方程-Toy模板网

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1 一阶微分方程变形

本节至第四节我们学习的都是一阶微分方程

$y^{'}=f(x,y)$ （2-1）

一阶微分方程对称形式
$p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\qquad (2-2)$

若以x为自变量，y为因变量，则
$\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$
若以y为自变量，x为因变量，则
$\frac{dx}{dy}=-\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$
示例： $\frac{dy}{dx}=2x\Rightarrow dy=2xdx$ ,该形式容易求微分方程的解。

例1 求 $\frac{dy}{dx}=2xy^2$ 的解
$解：\frac{dy}{y^2}=2xdx\\ 等式两边积分，\int{\frac{dy}{y^2}}=\int{2xdx}\\ -\frac{1}{y}=x^2+C\Rightarrow y=-\frac{1}{x^2+C}$

2 可分离变量的微分方程

2.1 定义

一般地，如果一个一阶微分方程能写成
$\qquad(2-5)$
的形式，也就是说能把微分方程写成一端只含有y的函数和dy，另一端只含有x的函数和dx，那么原方程称为可分离变量的微分方程。

2.2 解法

若函数 $y=\phi(x)$ 是方程(2-5)的解
$带入(2-5)式得,g(\phi(x))\phi^{'}(x)dx=f(x)dx\\ 两端求积分,\int{g(y)dy}=\int{f(x)dx}\\ 设G(y)及F(x)分别为g(y),f(x)的原函数，则\\ G(y)=F(x)+C \qquad(2-6)$
假设 $y=\Phi(x)$ 是由关系式（2-6）确定的隐函数
$\Phi^{'}(x)=\frac{F^{'}(x)}{G^{'}(y)}=\frac{f(x)}{g(y)}\\ 即y=\Phi(x)是微分方程的解$

注：

(2-6)叫做微分方程(2-5)的隐式通解;
解法简单无须显化，简单形式可以显化。

3 例题

例1 求微分方程 $\frac{dy}{dx}=2xy$ 的通解
$解：\frac{dy}{y}=2xdx\\ 两边积分，\int{\frac{dy}{y}}=\int{2xdx}\\ \ln|y|=x^2+C_1\\ y=\pm e^{x^2+C_1}\\ 令C=\pm e^{C_1},则通解为y=Ce^{x^2}\\$
例2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系。
$解：设下落速度为v(t),重力P=mg,方向与v一致\\ 阻力R=kv,方向与v相反\\ 降落伞所受外力 F=mg-kv，根据牛顿第二定律有\\ F=ma,即m\frac{dv}{dt}=mg-kv\\ 初值条件v|_{t=0}=0\\ 方程分离变量：\frac{dv}{mg-kv}=\frac{dt}{m}\\ 两边积分：\int{\frac{dv}{mg-kv}}=\int{\frac{dt}{m}}\\ v=\frac{mg}{k}+Ce^{-\frac{k}{m}t},带入初值条件v|_{v=0}=0\\ C=-\frac{mg}{k},微分方程的特解\\ v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}}t)$
例3 求初值问题
$\begin{cases} \cos ydx+(1+e^{-x})\sin ydy=0\\ y|_{x=0}=\frac{\pi}{4} \end{cases}$

$解：方程分类变量\tan ydy=-\frac{1}{1+e^{-x}}dx\\ 两边积分 \int{\tan ydy}=-\int{\frac{1}{1+e^{-x}}dx}\\ -\ln|\cos y|=-\ln(1+e^x)+C_1\\ \cos y = C(1+e^x),带入初值条件\\ C=\frac{\sqrt{2}}{4},则微分方程的特解为\\ \cos y=\frac{\sqrt{2}}{4}(1+e^x)$