❀关于李永乐-线性代数基础班学习笔记。
第一章 行列式
1.1 行列式的概念
1.1.1 二、三阶行列式
若有二元一次方程组，进行加减消元：
根据相加相减的系数，可以提炼成二阶行列式
假设方程组系数行列式不为0，则可让分母做运算。
若解三元一次方程组，很自然会出现3个数加加减减。
注意只有二三阶才可以直接根据主副对角线判定 前面的正负。
1.1.2 排列、逆序、逆序数
- 第二个例子：对于2，针对1有逆序；对于4，针对3、1有逆序；对于3，针对1有逆序。
- 第四个例子：自然排列逆序数是0
1.1.3 n阶行列式概念
用【逆序数】来判断 前面的正负。
【上三角行列式】
>
（要想行列式不为0，便只有这一种可能性）
【副对角线行列式】
注意是四阶，不可以直接根据副对角线，就判断前面是 负号。
【法一】
【法二】
1.2 行列式的性质
【法一】倍加性质
c2-c1；c3-c1
c1+c2+c3
c2、c3分别提取公因数-1
【法二】用性质5，和的拆开
- 第一、第二、第三列均可拆成2个，则一共可以拆成8个行列式；
- 在这8个行列式中，存在两列是相同的情况，则行列式值为0；
- 则把不为0的写出来：
用两行互换的性质（换两次正负号不变）
1.3 行列式按行(列)展开公式
1.3.1 余子式、代数余子式
- 去掉一行及一列，剩下的元素 就是余子式
- 带正负号的这样一个n-1阶行列式 就是aij的代数余子式
1.3.2 展开公式
引入：
证明：
- 注意A31与a31的数值大小无关…类似A32、A33。
- 因此构造的新的行列式B，第三行用系数表示
按照第三行展开。又这个行列式两行相同，因此行列式值=0
1.3.3 重要公式
(3) 对角线有一块为0。mn是行列式AB的阶数。
法2：
r2、r3、r4均加上 -a倍的r1
**【分析2】**不看主对角线，每一列都一样。就是隐形的爪形
变成爪形后，把每一列都加到第一列
**【分析三】**把上一行的-1倍加到下一行（由第三行开始，即第三行-1倍加到第四行）
再把每一列都加到第一列
**【分析四】**给a加上0，构成两个数相加。然后可以拆成16个行列式。在这些行列式中，存在大多数两列相同的情况（即行列式值为0）
【法一】 r1加上-1 r2；r4加上-1 r3
c2-c1；c3-c4
按第一行展开
**【法二】**变成爪形：r2、r3、r4分别加上-1 r1
逐行相加：先把第一行降价到第二行
把第二行加到第三行
第三行加到第四行
【法一】
【法二】
c3+（-2 c1）
1.4 克拉默法则
n个方程n个未知数的方程组：
求x几（几为下标），就把第几列换成常数项。
【克拉默法则更可能用在小的证明题上】
第二章 矩阵
【基础，应防混淆】
2.1 概念、运算
❗注意乘法的复习！
❗注意以下符号的含义
2.1.1 概念
行阶梯矩阵（不唯一）
- 第一行不是行阶梯矩阵：零行不在矩阵的底部
- 第二行不是行阶梯矩阵：第三行的7是主元，但其下面 的元素不是0
- 第三行是行阶梯矩阵
行最简矩阵（唯一 ）
- 1、2不是行最简矩阵
- 3、4是行最简矩阵
解：
2.1.2 运算
（1）加法
（2）数乘
（3）乘法
性质
（4）转置
关于转置的 矩阵/数 的重组
【由以下可得：第一排是矩阵，第二排是数】
- 列在前面，行在后面 得到的是一个矩阵
- 这样得到的行列式，两行成比例，即行列式值为0。则这种矩阵是秩为1的关系。
- 以下得到的两个矩阵 互为转置的关系
- 行在前面，列在后面 得到的是一个数
- 下面两数相等，就是矩阵的迹【矩阵的迹就是主对角线元素的和】
- 这个矩阵是个对称矩阵
❀例题
（2）两行成比例，是秩为1的矩阵
2.2 ❀伴随矩阵、❀可逆矩阵
❗
单位矩阵恒等变形的技巧
2.2.1 伴随矩阵
证明：
- a11A11+a12A12是行列式A按照第一行展开，即行列式的值
- 【某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于0】。即 a11A21+a12A22=0
二阶矩阵的伴随
❀例题
2.2.2 可逆矩阵
注意单位矩阵恒等变形的技巧
（1）逆矩阵性质
❀例题
2.3 初等变换、❀初等矩阵
❗
【初等矩阵都有两种理解方法（如右列）】
【左乘是行变换，右乘是列变换】
【初等矩阵在第一个，第二个到第三个做的变化，就是初等矩阵在单位矩阵上做的变化】
【初等矩阵在第二个，初等矩阵由单位矩阵作出的变化就是 第一个加上这个变化，得出第三个的结果】
【初等矩阵逆矩阵的三个公式】：
【倍加矩阵的逆矩阵 是把倍数改成相反数】
【两行互换，初等矩阵纹丝不动，就是它自己】
【对角矩阵的逆矩阵 是取倒数】
❀例题
【有下标的题目得观察下标】
但是p2是将第一行加到第三行
【将文字变为符号】
2.4 分块矩阵
❗
对应的题型
第一种：
第二种：方程组解
第三种：向量；秩 （既可按行分块，也可按列分块）
【AC按列分块】
【BC按行分块】
【BC按列分块】
【通过解方程组得出B】
（1）运算
❀例题
【做乘法：分四块】
【求逆：分四块】
把B矩阵按列分块
2.5 方阵A的行列式
❀例题
第三章 向量*
3.1 概念
【加法与数乘的运算法则】
3.2 线性表示
❀例题
【可用爪形消元】
3.3 相关、无关
有零向量、有成比例的向量，这样的向量组肯定是线性相关的。
对于任何一个向量组 这个式子永远成立：
相关、无关的区别：有且仅有 以上式子能使结果为0的 才是线性无关。
❀例题
3.4 秩（向量组、矩阵）
3.4.1 向量组的秩
一个向量组的极大线性无关组多数情况下答案不唯一。【极大线性无关组中的向量个数是相同的】
向量组中的任何一个向量都可以由极大线性无关组线性表出
3.4.2 矩阵的秩
3.3.4 秩的性质
❀例题
【化为行最简】
则秩=3
极大线性无关组：找主元
法一：
法二：
法三：
【法二】
3.5 正交矩阵
第四章 方程组
4.1 齐次方程组
齐次方程组不存在无解的情况。【最少都有零解】
由定理可知有两个解向量。
化成行最简后【自由向量是a3、a5.因此得到红笔书写的】。然后n1的黑笔三个数是a3列的相反数，n2的是a5列的相反数
【法二】
4.2 非齐次方程组
4.3 解的性质
❀例题
方程组通解：【法二】
4.4 方程组的应用
4.4.1 通过解方程组得到所需矩阵
解题思路：
可以得到齐次方程组
分析：解方程组，求出方程组的解。拼成所需矩阵X。（注意把握矩阵X的行列尺寸）
解这两个方程组
【两个方程组系数项相同，考虑将两个增广矩阵拼接在一起】然后化成行最简
第五章 特征值
5.1 特征值、特征向量
一个特征值的特征向量有无数多个。
（1）特征值的和就是A矩阵 主对角线元素的和（即迹）
（2）特征值的乘积 就是行列式的值
【求特征值、特征向量方法：】
❀例题
则可求得特征值
【上面两道题都是有重根的情况】可以发现此时有的矩阵有两个无关的特征向量，有的只有1个。这有重根的情况 与后面 一个矩阵是否与对角矩阵相似 有关联。
…
【满足题设关系的A矩阵有无数多个，即A矩阵是不唯一的。因此此处只能求得特征值的取值范围（即有多少个1不知道，多少个-3也不知道）。因此用“或”】
举例A可能为如下：
5.2 相似矩阵
【重点：和对角矩阵相似】
5.2.1 相似的定义
例子
【由以上例题可知，一个矩阵的相似矩阵是不唯一的】
5.2.2 相似的性质
【相似具有传递性：】
【可用于证明题：证两者相似时可以找个中介】
【还有一种考法：求可逆矩阵p】
证明：
利用：如果A是可逆矩阵，则AB的秩等于B的秩 证明
证明：
利用前面的定理：特征值的和是A的迹。而A、B的特征值相同，则其迹相同。
证明：
❀例题
5.2.3 相似对角化
不是每一个矩阵都能相似对角化。
证明：
【充分性】
（把A矩阵暂时看作三阶矩阵），把P矩阵按列分块（对角矩阵也是假设的）
【必要性】
（1）可逆矩阵相似对角化解题步骤
❀例题
【❗】
（注意此时由2重特征值）
n-秩=2，则秩=1。
分析：特征值一定有重根
分析：B是对角矩阵，又AB相似，则P矩阵即A的特征向量。（根据相似对角化的解题步骤）
（1）问
【法一】
需用相似的必要条件34构造一元二次方程组【4是最好用的】
【法二】
则-x=1-y -1=-y。对应可解
（2）问
分析：求A的3个特征向量
5.3 实对称矩阵
【证明】
证明正交即内积为0（红框）
由1式转置：
由A是实对称的，即A的转置就是A；再由2式：
（1）正交矩阵相似对角化解题步骤
【分为如下情况】
特征值不同，根据定理，此时已经正交。
即检查两向量是否垂直（垂直即表示已正交）
判定垂直：两向量的内积为0
如不垂直，即不正交
❀例题
【❗ 】
去掉或：运用定理1【实对称矩阵一定和对角矩阵相似】
保证对角矩阵减去单位矩阵 秩为2（即减后里面只有1个0）：
（0和1的位置可以变化的）
又由于对角矩阵 其各项就是特征值，则：
分析：根据秩的背景处理参数a
分析：通过研究A和那个对角矩阵相似。并以此当中间变量 求取最后结果。
*第六章 二次型
6.1 概念、定理
6.1.1 二次型
二次型：一个多元函数的每一项都是2次的。
- 中间矩阵是对称矩阵； （其主对角线是平方项系数；混合项系数：x1x2的系数倍2除摆在a12和a21的位置，x2x3的系数倍2除摆在a23a32的位置，x1x3的系数为0则摆在a13a31的位置）
【可写成3个矩阵的原因】原理：
右边的矩阵也类似与 矩阵乘法的相加，因此拆分开
又A是对称矩阵
【二次型和实对称矩阵是一 一对应的关系】
6.1.2 标准形
标准形：只有平方项，没有混合项
【对角矩阵和标准型一一对应】
6.1.3 规范形
规范形：必须是标准形，且平方项系数只能是+1、-1、0
6.1.4 正惯性指数、负惯性指数
正惯性指数：标准形中 正平方项的个数；
负惯性指数：标准形中 负平方项的个数。
【可用配方法、特征值来求得正负惯性指数】
6.1.5 二次型的秩
6.1.6 坐标变换
坐标变换的3种表现形式：
【坐标变换有无数多组】
【需要抓住重点：|C|=0、C可逆】
其中C是坐标变换中的可逆矩阵
B的转置=B意味着B是对称矩阵，即为新的二次型表示，B记为新的二次型矩阵
6.1.7 合同
这两矩阵肯定不相似（迹不同）
【合同的性质】
证明：
（判断两个矩阵是否合同）：（即抓住正负惯性指数）
证明-利用定理：二次型经过坐标变换，其正负惯性指数不会变。
（1）是最好的方法
接下来介绍其他方法
（2）
如果假设合同，两边算行列式
C可逆，|C|不为0。|C|平方>0，则|A|、|B|正负号相同
6.2 化成标准形
证明：
（把Q矩阵当作 坐标变换里的C矩阵）
正交矩阵，其逆等于其转置矩阵
（对角矩阵的各项就是标准形平方项的系数，又对角矩阵就是A的特征值）->因此标准形以特征值作为平方项的系数：
❀例题
分析：给了标准形相当于给了特征值。注意三个自变量，因此特征值应该是1、4、0。
看到二次型，可写出矩阵A
0是A的特征值，意味着行列式A的值=0
P是特征向量，第一列是1的特征向量，第二列是4的特征向量，第三列是0的特征向量（对应特征值的特征向量）
注意正交矩阵的几何意义：列向量一定是两两垂直的，列向量是单位向量。因此要单位化
注意特征值都不同，因此对应的特征向量已相互正交
分析：先处理x1
处理中括号-让中括弧完全平方
中括号是完全平方了，然后打开后面的平方项，进行合并同类项
开始处理x2（同x1），整理x3
（上三角）
分析：对于没有平方项的，可以先做一次准备工作–做一次坐标变换构造出平方项。【一般习惯用a+b、a-b的形式】。为了保证坐标变换行列式不等于0，因此令x3=y3
然后带入原式，构造出平方项
开始配方
注意：经过了两次坐标变换。
把以下标准形变成规范形
【可用配方法、特征值来求得正负惯性指数】
6.3 正定二次型
【平方项系数有负的，一定不是正定二次型】
❀例题
(特征值)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-444957.html
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