一阶常微分方程-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了一阶常微分方程。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

第一次写博客记录自己的学习过程，写的不好希望大家斧正。

讲的更多的是常微分方程的解法的理解，也是我在学习中遇到各种证明的关键点，希望通过记录博客深化对于证明的理解，建立起数学思维，而不是知其然而不知其所以然。因此阅读中需要读者有一定的基础，与实践相结合，

2.1 分离变量和变量代换法

2.1.1 分离变量法

一阶常微分方程
我们很容易对上式进行变量分离，并计算；需要注意的是：分离变量时f(x)或者g(y)做分母时不为零，此时若有f(x0) = 0 、g(y0) = 0，则方程可能还存在着特殊解y = y0、x = x0。

2.1.2 变量代换法

1.齐次方程

一阶常微分方程

2.类似于两直线方程相除的形式

一阶常微分方程
该方程求解的时候分为3种情况：

c1、c2为零的情况：直接就是齐次方程
两直线方程平行的情况，且c1、c2不同时为0：令u = a1 * x + b1 * y，然后进行变量分离
两直线有焦点的情况：求出交点，然后将交点移动到原点的位置，此时有新的变量X、Y，并且方程可以化成其次方程

将求解分为这三类主要就是将方程向齐次方程或者可分离变量方程的形式靠拢。

3. 第三类

一阶常微分方程

2.2 常数变易法

常数变易法是专门针对一阶线性方程、高阶线性方程和线性方程组总结的一种特定的方法；这里先讲一阶的，后面会有相应高阶方程应用该方法进行求解。

2.2.1 线性方程的通解公式

一阶常微分方程
上图中方程是一阶非齐次的常微分方程，对于其齐次形式，即 $q (x) = 0$ ，我们很容易可以解出：

$Ce^{\int{p(x)dx}}.$

那么对于非齐次形式的方程我们猜想解为： $C(x)e^{\int{p(x)dx}}$ 。
后面进行验证，有两种方法：

将 $C(x)e^{\int{p(x)dx}}$ 带入到原方程中，解出 $C (x)$
方程 $C(x)e^{\int{p(x)dx}}$ 两边对 $x$ 求导，然后求解（高阶常微分方程的常数变易法与此类似）

结果均为：
$e^{\int{p(x)dx}}(C + \int{q(x)e^{\int{-p(x)dx}}dx})$

2.2.2 伯努利方程

方程如下：
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)y^n \quad(n \neq 0,1)$
这种类型的方程同样也化成常数变易的形式，将方程两端同时除以 $y^n$ ，化为如下格式：
$y^{-n}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + p(x)y^{1-n} = q(x)$
此时令 $z = y^{1-n}$ ，常数变易法即可解出y。

2.3 凑全微分法与积分因子法

2.3.1 恰当方程

当方程
$\quad M(x,y)\mathrm{d}x + N(x,y)\mathrm{d}y = 0\quad,\qquad(3-0)$
等号左边可以表示为某二元函数的全微分 $\quad M\mathrm{d}x + N\mathrm{d}y = \mathrm{d}u\quad$ 时，称此一阶方程为恰当方程。

定理：当 $\quad\frac{\partial M}{\partial x} \equiv \frac{\partial N}{\partial y}\quad$ 时，方程时恰当方程。
积分时先对N或者M偏积分，然后对剩下的未积分完全的变量在进行积分：

证明过程：
$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} =\frac{\partial}{\partial{y}}u= \frac{\partial}{\partial{y}}\int_{x0}^x{M(x,y)dx} + \frac{\partial{\psi(y)}}{\partial{y}}$ $=\int_{x0}^x{\frac{\partial}{\partial{y}}M(x,y)dx} + \psi{'}(y)$ $=\int_{x0}^x{\frac{\partial}{\partial{x}}N(x,y)dx} + \psi{'}(y)$ $\psi{'}(y)$
容易得到： $\psi{'}(y)$ ，进而求出$\psi(y) = $。
积分为：
$\equiv \int_{x0}^xM(x,y)dx + \int_{y0}^yN(x0,y)dy = C.$

2.3.2 凑全微分法

一阶常微分方程

2.3.3 积分因子法

1.常规情况

当 $\quad\frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y}\quad$ 时，方程不是恰当的，不能表示为一个二元函数的全微分。我们希望找到一个函数 $\mu(x,y)$ ，使得：
$\equiv \mu(x,y)[M(x,y)dx + N(x,y)dy]$
其中 $\mu(,x,y)$ 为方程的积分因子。此时方程是恰当的，有以下推导：
$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}$ $\mu(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}) = N\frac{\partial \mu}{\partial x} - M\frac{\partial \mu}{\partial y} ,\quad(3-1)$
从一般的偏微分方程求解 $\mu(x,y)$ 会比较困难，先不做考虑；这里我们假设 $\mu = \mu(x) 或\mu = \mu(y)$ ，此时分离变量法即可求出 $\mu$ ：
$\frac{\mu(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})}{N} = \frac{\partial \mu}{\partial x},\qquad(3-2)$ $积分得\mu(x) = e^{\int{{\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}}}},\qquad(3-3)$
$\frac{\mu(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})}{-M} = \frac{\partial \mu}{\partial y},\qquad(3-4)$ $积分得\mu(y) = e^{\int{{\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{-M}}}},\qquad(3-5)$
在实际计算中应该注意寻找(3-2)、(3-4)，即可解决这类问题。

2. 一阶微分方程可以拆分时

先引入定理：

若 $\mu(x,y)$ 是方程的积分因子，且 $u = u (x, y)$ ,则 $\mu ·g(u)$ 也是方程(3-0)的一个积分因子，简单推导一下充分性：
$\mu Mdx + \mu Ndy,$ $故只需证明:\frac{\partial [\mu·g(u) M]}{\partial y}= \frac{\partial [\mu·g(u) N]}{\partial x}，$ $\frac{\partial [\mu·g(u) M]}{\partial y} = \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} g + \frac{\partial g}{\partial y}\mu M = \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} g + \frac{\partial g}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial y}\mu M ) ,(1)$ $\frac{\partial [\mu·g(u) N]}{\partial x} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x} g + \frac{\partial g}{\partial x}\mu N = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x} g + \frac{\partial g}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}\mu N),(2)$ $(2) 、 (1) 两式中对应项相等，充分性得证。$
当方程(3-0)左边可以拆分成两项：
$M_{1}dx +N_{1}dy) +(M_{2}dx +N_{2}dy) = 0，$
且 $\mu_{1}、\mu_{2}$ 分别为积分因子时，如果能够找到共同的积分因子:
$\mu \equiv\mu_{1}g_{1}(u_{1}) = \mu_{2}g_{2}(u_{2}),$
$\mu$ 就是其共同的积分因子。
拆分成两部分确实可以降低寻找积分因子的难度。

2.4 引入参数法

在处理一些隐式方程时常常借助引入参数的方法解决问题，常见的4种类型的隐式方程如下：
一阶常微分方程

2.4.1 可解出未知函数（或自变量）的方程

1. $f(x,\frac{dy}{dx})$

令 $\frac{dy}{dx} = p$ ，带入到上式中得 $p=\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial x}$ ，这是关于x、p的导数 $\frac{dp}{dx}$ 可解出的一阶微分方程，利用前面的方法就可以可以解决。为方便理解，具体例子如下：

2. $=f(x,\frac{dy}{dx})$

令 $\frac{dy}{dx} = p$ ，关于y求导数，带入到上式中得 $\frac1p=\frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial y}$ ，这是关于y、p的导数 $\frac{dp}{dy}$ 可解出的一阶微分方程，利用前面的方法就可以可以解决。为方便理解，具体例子如下：
一阶常微分方程

2.4.2 不显含未知函数（或自变量）的方程

1. 不显含y的方程 $F(x,y{'} = 0)$

对于上面的方程，令 $p = y{'}$ ,有限制条件 $d y = p d x$ ；若将x-p看作空间中的曲线，
参数方程为 $\varphi(t)、p =\psi(t)$ ，可得：
$=\psi(t)\varphi{'}(t)dt,$
不难得出参数形式的方程解：
$\varphi(t)， y =\int\psi(t)\varphi{'}(t)dt +C$
该解法的关键是将微分方程拆解成合适的参数形式，如下面例子：
一阶常微分方程

2. 不显含x的方程 $F(y,y{'} = 0)$

对于上面的方程，令 $p = y{'}$ ,有限制条件 $d y = p d x$ ；若将y-p看作空间中的曲线，
参数方程为 $\varphi(t)、p =\psi(t)$ ，可得：
$\varphi{'}(t)dt =\psi(t)dx,$
不难得出参数形式的方程解：
$\varphi(t)， x =\int\frac{\varphi{'}(t)}{\psi(t)}dt +C$
该解法的关键是将微分方程拆解成合适的参数形式，如下面例子：
一阶常微分方程
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