今天，带来二叉搜索树的讲解。
文中不足错漏之处望请斧正！
是什么
二叉搜索树（Binary Search Tree）又称二叉排序树。
它可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
实现
二叉搜索树有两种搜索模型——Key搜索模型和<Key, Value>搜索模型。
Key搜索模型
Key模型的BST每个结点内存一个Key值，即用Key作为关键码，Key本身就是搜索需要找到的值。
结构
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_key(key)
{}
BSTreeNode<K>* _left = nullptr;
BSTreeNode<K>* _right = nullptr;
K _key;
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
Node* _root = nullptr;
};
Insert
思路：key小往左走，key大往右走。
参考代码
//依照key值找插入位置（BST元素不重复）
bool Insert(const K& key)
{
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(key);
if(parent->_key < key)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
return true;
}
Erase
思路：
1. 要删的是根/没有孩子的结点
：直接删
2. 要删的有左孩子/右孩子
：将左/右孩子托付给自己的父。
3. 要删的有左右孩子
替换法删除：找一个合适的结点替换删除。
找谁？
左子树最大 / 右子树最小都可以。
- BST规则：左子树的全部结点都比右子树小，也可以说右子树的全部结点都比左子树的大。
- 左子树最大的上来作根：比左子树的都大，比右子树的都小（）
- 右子树最小的上来作根：比右子树的都小，比左子树的都大（BST规则：左子树的全部都比右子树小）
参考代码
bool Erase(const K& key) //删除 = 删除 + 链接
{
if(Empty()) return false;
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else break;
}
if(cur == nullptr) return false;
//走到这，cur即要删除的结点
//要删的是根 / 要删的结点没有孩子都可以直接包含在这种条件内（复用代码）
//2. 要删的结点有右孩子 ==> 将右子树托孤
if(cur->_left == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if(cur == parent->_left)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
//2. 要删的结点有左孩子 ==> 将左子树托孤
else if(cur->_right == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if(cur == parent->_left)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
//3. 要删的结点有左右孩子 ==> 替换法删除
else
{
Node* minRight = cur->_right, *parent = cur;
while(minRight->_left) //此分支内，minRight肯定不为空，可以直接解引用
{
parent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
//覆盖掉要删的
cur->_key = minRight->_key;
if(minRight == parent->_left)
parent->_left = minRight->_right;
else
parent->_right = minRight->_right;
//我已经去作老大了，这里得清理干净
delete minRight;
return true;
}
return false;
}
InsertR
可以用递归实现一下，有个很妙的点。
我们插入和删除最大的难点就是链父，插入了，我的父是谁，删除了，我的父是谁？
在递归里，这样的场景我们可以用引用做参数——使得root是父亲的左/右孩子的引用。
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
//最大的问题是链父，root作引用，是父结点的left/right
if(root == nullptr)
{
root = new Node(key); //root是父结点的left/right的引用，这一步赋值相当于链父了
return true;
}
if(root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if(key < root->_key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}
EraseR
递归里我们不能用替换法直接覆盖删了，但是思路一样，还是需要替换，不过绕了个弯子。
我们可以替换，让左子树最大/右子树最小，也可以说是最左/最右结点作根，原本的根换下去。
有两个点：
- 最左结点/最右结点必然有一侧是空的，那就可以直接删除或托孤
- 替换后不符合BST规则：整体来说不符合，但是从局部来说还符合
局部符合有什么用？
局部符合我们就可以在局部删！
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if(root == nullptr) return false;
if(root->_key < key)
return _EraseR(root->_right, key);
else if(key < root->_key)
return _EraseR(root->_left, key);
else
{
Node* del = root;
if(root->_left == nullptr)
root = root->_right; //托孤（右孩子）
else if(root->_right == nullptr)
root = root->_left; //托孤（右孩子）
else
{
Node* minRight = root->_right;
while(minRight->_left)
minRight = minRight->_left;
//交换法：直接找key删，没法删，找替换节点交换，交换后可以删替换节点
//(因为是最左/最右结点，一定有一侧是空的，也就可以托孤)
swap(root->_key, minRight->_key);
//交换后，root为根的子树不符合BST，无法递归，会找不到key
//但是，因为找来的替换节点是右子树的最左节点，替换后右子树保持BST
//就可以转换成到root->_right为根的子树找，而交换后，我们可以用托孤的方式删除minRight/maxLeft
_EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}
子函数
我们把这些需要传递私有成员的函数都作为子函数，或是弄一层函数重载——外面调用时是无法访问私有成员，所以无法传参。
*其实可以写一个GetRoot这种函数给外面提供，但是暴露底层了，不好
子函数：
//外面可以直接调用
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
//封一层
void _InOrder(Node* root)
{ ... }
函数重载：
//给外面调用
void InOrder()
{
InOrder(_root);
}
//给内部调用
void _InOrder(Node* root)
{ ... }
还有一些拷贝构造和析构什么的，完善一下就好了。
*整体代码在文末
<Key, Value>搜索模型
KV模型的BST每个结点内存一个pair键值对，即用pair中的Key作为关键码，Key对应的Value是需要找到的值。
关于键值对，它存放了一个键和相应值的对，键用于在树中进行查找，而值则相当于查找键所得到的结果。
C++中的pair类模板是一种将两个值组合成一个单元的数据结构。这对于需要将一对值作为一个单元处理的情况非常有用。pair模板具有两个模板参数，一个表示第一个值的类型，另一个表示第二个值的类型。例如，pair<int, string>是一个由int和string类型组成的单元。我们此处用它来将key和value组合成一个单元，实现KV搜索模型。
实现
实现上我们从简，只玩儿精华，看到它和K模型的区别即可。
//KV查找模型：key value
namespace KV
{
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left = nullptr;
BSTreeNode<K, V>* _right = nullptr;
K _key;
V _val;
BSTreeNode(const K& key, const V& val)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_key(key),
_val(val)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
public:
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
bool Insert(const K& key, const V& val)
{
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, val);
return true;
}
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(key, val);
if(parent->_key < key)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root); //递归必须要传root：子函数内部传参，不想写GetRoot暴露root
cout << endl;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while(cur)
{
if(cur->_key == key)
return cur;
else if(cur->_key < key)
cur = cur->_right;
else
cur = cur->_left;
}
return nullptr;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if(root == nullptr) return;
_InOrder(root->_left);
cout << "["
<< root->_key
<< ", "
<< root->_val
<< "]" << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
BST性能分析
最优情况
是或接近完全二叉树，据key搜索一次需要比较logN次，时间复杂度为O(N)。
还是很不错的哦！
最差情况
是或接近单支树，据key搜索一次需要比较N次，时间复杂度为O(N)。
但是会退化，感觉不够强……
K模型BST的整体参考代码
整体参考代码
//Key搜索模型
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_key(key)
{}
BSTreeNode<K>* _left = nullptr;
BSTreeNode<K>* _right = nullptr;
K _key;
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
//依照key值找插入位置（BST元素不重复）
bool Insert(const K& key)
{
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(key);
if(parent->_key < key)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root); //递归必须要传root：子函数内部传参，不想写GetRoot暴露root
cout << endl;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while(cur)
{
if(cur->_key == key)
return true;
else if(cur->_key < key)
cur = cur->_right;
else
cur = cur->_left;
}
return false;
}
bool Empty() { return _root == nullptr;}
bool Erase(const K& key) //删除 = 删除 + 链接
{
if(Empty()) return false;
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else break;
}
if(cur == nullptr) return false;
if(cur->_left == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if(cur == parent->_left)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
else if(cur->_right == nullptr)
{
if(cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if(cur == parent->_left)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
else
{
Node* minRight = cur->_right, *parent = cur;
while(minRight->_left) //此分支内，minRight肯定不为空
{
parent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key; //左子树最大 / 右子树最小都符合
if(minRight == parent->_left)
parent->_left = minRight->_right;
else
parent->_right = minRight->_right;
delete minRight;
return true;
}
return false;
}
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
bool FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
private:
void Destroy(Node* root)
{
if(root == nullptr) return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if(root == nullptr) return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if(root == nullptr) return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
//最大的问题是链父，root作引用，是父结点的left/right
if(root == nullptr)
{
root = new Node(key); //root是父结点的left/right的引用，这一步赋值相当于链父了
return true;
}
if(root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if(key < root->_key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if(root == nullptr) return false;
if(root->_key < key)
return _EraseR(root->_right, key);
else if(key < root->_key)
return _EraseR(root->_left, key);
else
{
Node* del = root;
if(root->_left == nullptr)
root = root->_right; //托孤（右孩子）
else if(root->_right == nullptr)
root = root->_left; //托孤（右孩子）
else
{
Node* minRight = root->_right;
while(minRight->_left)
minRight = minRight->_left;
//交换法：直接找key删，没法删，找替换节点交换，交换后可以删替换节点
//(因为是最左/最右结点，一定有一侧是空的，也就可以托孤)
swap(root->_key, minRight->_key);
_EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}
bool _FindR(Node*& root, const K& key)
{
if(root == nullptr) return false;
if(root->_key < key)
return _FindR(root->_right, key);
else if(key < root->_key)
return _FindR(root->_left, key);
else
return true;
}
Node* _root = nullptr;
};
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