前言
本节主要讨论矩阵的基本概念和性质，结合MATLAB的基础代码，适合新手。
一. 行列式
矩阵的行列式的数学定义如下：
MATLAB调用的格式如下：
d=det(A)例题1
求以下矩阵的行列式：
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
det(A)
运行结果：
ans =
5.1337e-13
例题2
利用解析解的方法计算20✖️20的Hilbert矩阵的行列式，并分析其代码运行时间。
解：
MATLAB代码：
clc;clear;
tic, %时间的开端
A=sym(hilb(20)); %20阶的hilbert矩阵，并写成符号形式
det(A),
toc %时间的结束运行的结果较长，如下：
ans =
1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000
历时 0.246496 秒
分析：可通过此结果推断高阶的Hilbert矩阵式接近奇异的矩阵
二. 矩阵的迹
在数学中，方阵的迹定义如下：
MATLAB的格式如下：
t=trace(A)三. 矩阵的秩
矩阵的秩可以理解为该矩阵中行列式不等于0的子式中最大的阶次。基于线性无关性质，行秩和列秩是相等的，MATLAB格式如下：
r=rank(A); %利用默认的精度求数值秩
r=rank(A); %给定精度下，求数值秩上式子中，r可代表列秩或行秩。
例题3
求矩阵A的秩，A的表达式如下：
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
rank(A)运行结果：
ans =
3
分析：该矩阵的秩为3，小于该矩阵的阶次4，所以次矩阵为非满秩矩阵。
例题4
利用数值方法和解析方法分别求20✖️20的Hilbert矩阵的秩。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
H=hilb(20);
r1=rank(H) %数值方法
H1=sym(hilb(20));
r2=rank(H1) %解析方法运行结果：
r1 = 13
r2 = 20
分析：两种方法运行结果不一样，原因是原矩阵为非奇异矩阵
四. 矩阵范数
首先，我们来认识下向量的范数。函数为向量的范数，需要满足如下三个基本条件：
- ，的充要条件是
- ，其中a为任意的标量
- 对任意向量x和y，都有
令代表向量的范数，从数学的观点上，范数的计算公式如下：
此式子中，
由向量的范数延伸到矩阵的范数，对于任意的非零向量x，矩阵A的范数可定义如下：
常用的三个范数计算如下：
在MATLAB中调用的格式如下：
N=norm(A) %求解默认为2的范数
N=norm(A,others) %others可填1，,2，inf等例题5
求解以下向量a和矩阵A的范数。
a=[16 2 3 13];
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
a=[16 2 3 13];
a1=[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,inf)]
%分别求向量 默认，2，,1，无穷大的范数
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;0 7 3 6];
A1=[norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,inf)]
%分别求矩阵 默认，2，,1，无穷大的范数说明：因为符号运算工具箱未提供norm()函数，所以如果给出的是符号矩阵，则需要先用double()函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm（）函数即可。
五. 特征多项式
矩阵A的特征多项式，定义如下：
MATLAB调用的格式，如下：
C=poly(A)例题6
求矩阵A的特征多项式。
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
A1=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
C1=poly(A1) %直接求解
A2=sym(A1);
C2=charpoly(A2) %运用符号工具箱求解运行结果：
C1 =
1.0e+03 *
0.0010 -0.0340 -0.0800 2.7200 0.0000
C2 =
[ 1, -34, -80, 2720, 0]
分析：两个结果一致
六. 矩阵多项式
矩阵多项式的数学形式如下：
MATLAB调用的格式，如下：
B=polyvalm(a,A)如果是点运算，则定义如下形式：
MATLAB调用格式，如下：
C=polyval(a,x)可以将多项式P中的自变量s替换为x，MATLAB格式如下：
C=subs(p,s,x)例题7
（1）求向量与矩阵间的矩阵多项式
，
(2)求向量与向量间的矩阵多项式
，
解：
MATLAB代码如下：
clc;clear;
a=[1 2 3 4];
A=[5 6;7 8];
x=[7 8 9];
C1=polyvalm(a,A)
C2=polyval(a,x)运行结果：
C1 =
1034 1200
1400 1634
C2 =文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-447001.html
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