1. 适用场合
- 初等行、列变换可以混用
- 求矩阵/向量组的秩：初等变化不改变矩阵的秩（求向量组的秩也是先排成矩阵然后求矩阵的秩）
- 矩阵化行阶梯型矩阵（用来求秩）：同上
- 矩阵化为等价标准形：根据定义，化标准形时要同时左乘和右乘可逆矩阵，相当于初等行列变换都做了
- 求行列式的值：只要求出数值就行。注意在初等变换时要同步记录对行列式值的影响（互换→反号，倍乘→变k倍，倍加→不变）
- 只能用初等行变换：
- 解线性方程组：只有行变换是线性方程组的同解变换
- 矩阵化行阶梯型矩阵（用来解线性方程组）：同上
- 求特征向量：本质是解齐次线性方程组
- 求（列向量）极大线性无关组：对于列向量而言，初等行变换保持线性相关性（证明见第2节）
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求逆矩阵（横向排列）
- 只能用初等列变换：
- 求（行向量）极大线性无关组：对于行向量而言，初等列变换保持线性相关性（证明见第2节）
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求逆矩阵（纵向排列）
2. 初等行变换保持列向量的线性相关性
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考虑一个 n n n 元齐次线性方程组如下，它总共有 m m m 个显式约束
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + . . . + a m n x n = 0 \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=0 \\...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=0 \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=0...am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=0 提取出系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n，并把它用 n n n 个 m m m 维列向量 a i = [ a 1 i , a 2 i , . . . , a m i ] ⊤ \pmb{a}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}]^\top aaai=[a1i,a2i,...,ami]⊤ 表示，原方程组变形为
A x = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]\pmb{x} \\&= x_1\pmb{a}_1+x_2\pmb{a}_2 +...+x_n\pmb{a}_n \\&= \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx=[aaa1,aaa2,...,aaan]xxx=x1aaa1+x2aaa2+...+xnaaan=000 这样，任意一个列向量都可以写成用其他列向量表示的形式
a i = − ∑ j ≠ i x j x i a j \pmb{a}_i = -\sum_{j\neq i} \frac{x_j}{x_i}\pmb{a}_j aaai=−j=i∑xixjaaaj 这意味着，这组向量的线性相关性由线性方程组的解唯一确定- ∃ x i ≠ 0 \exist x_i \neq 0 ∃xi=0，对应的 a i \pmb{a}_i aaai 就真的能由其他列向量线性表示，这一组向量就线性相关了（这时有效方程数量少于未知数个数，齐次线性方程组有无穷多非零解）
- ∀ x i = 0 \forall x_i = 0 ∀xi=0（即 x = 0 \pmb{x}=\pmb{0} xxx=000）时，这一组向量线性无关（这时有效方程数量等于未知数个数，齐次线性方程组有唯一的零解）
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对于线性方程组来说，对它做初等行变换是不改变解的（这正是高斯消元法的理论基础）。因此，对矩阵做初等行变换得到新矩阵文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-447063.html
- 变换前后，任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
- 变换前后，行向量组等价（可以相互线性表出）
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由于行列的等价性，把上述讨论中所有 “行”，“列” 交换，仍成立文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-447063.html
到了这里，关于线性代数拾遗（2）—— 何时用初等行变换，何时用初等列变换？的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
