前置性质 1 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}| ∣AB∣=∣A∣∣B∣。
证明见 “矩阵的运算规则”。
前置性质 2 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}^T| = |\boldsymbol{A}| ∣AT∣=∣A∣。
证明见 “矩阵的运算规则”。
定义 1（正交矩阵） 如果
n
n
n 阶矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 满足
A
T
A
=
E
（即
A
−
1
=
A
T
）
(1)
\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} \hspace{1em} （即 \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T） \tag{1}
ATA=E（即A−1=AT）(1)
那么称
A
\boldsymbol{A}
A 为 正交矩阵，简称 正交阵。
性质 1 方阵 A \boldsymbol{A} A 为正交矩阵的充分必要条件是 A \boldsymbol{A} A 的列向量都是单位向量，且两两正交。
证明 将式 ( 1 ) (1) (1) 用 A \boldsymbol{A} A 的列向量表示，即是
( a 1 T a 2 T ⋮ a n T ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = E \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1^T \\ \boldsymbol{a}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n^T \\ \end{pmatrix} (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n \\) = \boldsymbol{E} a1Ta2T⋮anT (a1,a2,⋯,an)=E
也就是 n 2 n^2 n2 个关系式
a i T a j = { 1 , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) \boldsymbol{a}^T_i \boldsymbol{a}_j = \begin{cases} 1, \ 当 i = j \\ 0, \ 当 i \ne j \end{cases} \hspace{1em} (i,j=1,2,\cdots,n) aiTaj={1, 当i=j0, 当i=j(i,j=1,2,⋯,n)
即 A \boldsymbol{A} A 的列向量都是单位向量，且两两正交。
性质 2 方阵 A \boldsymbol{A} A 为正交矩阵的充分必要条件是 A \boldsymbol{A} A 的行向量都是单位向量，且两两正交。
证明 因为 ( A A T ) T = A T A = E (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} (AAT)T=ATA=E，所以 A A T = E \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{E} AAT=E。类似性质 1 可证性质 1 对于行向量仍然成立。
由此可见， n n n 阶正交矩阵 A \boldsymbol{A} A 的 n n n 个列（行）向量是构成向量空间 R n \R^n Rn 的一个标准正交基。
性质 3 若 A \boldsymbol{A} A 为正交矩阵，则 A − 1 = A T \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T A−1=AT 也是正交矩阵。
证明 因为 ( A A T ) T = A T A = E (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} (AAT)T=ATA=E，所以 A A T = E \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{E} AAT=E，从而 A − 1 = A T \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T A−1=AT 也是正交矩阵。
性质 4 若 A \boldsymbol{A} A 为正交矩阵，则 ∣ A ∣ = 1 |\boldsymbol{A}| = 1 ∣A∣=1 或 − 1 -1 −1。
证明 因为 A T A = E \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} ATA=E，所以 ∣ A T A ∣ = ∣ E ∣ |\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}| ∣ATA∣=∣E∣；根据前置性质 1，有 ∣ A T ∣ ∣ A ∣ = ∣ E ∣ |\boldsymbol{A}^T| |\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}| ∣AT∣∣A∣=∣E∣；根据前置性质 2，有 ∣ A ∣ 2 = ∣ E ∣ = 1 |\boldsymbol{A}|^2 = |\boldsymbol{E}| = 1 ∣A∣2=∣E∣=1，从而有 ∣ A ∣ = 1 |\boldsymbol{A}| = 1 ∣A∣=1 或 − 1 -1 −1。得证。
性质 5 若 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 都是正交矩阵，则 A B \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} AB 也是正交矩阵。
证明 因为 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 是正交矩阵，所以有 A − 1 = A T \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^T A−1=AT 和 B − 1 = B T \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{B}^T B−1=BT。根据两式，有
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 = B T A T = ( A B ) T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T (AB)−1=B−1A−1=BTAT=(AB)T
因此 A B \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} AB 是正交矩阵。得证。
定义 2（正交变换） 若 P \boldsymbol{P} P 为正交矩阵，则线性变换 y = P x \boldsymbol{y} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} y=Px 称为 正交变换。
性质 6 设 y = P x \boldsymbol{y} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} y=Px 为正交变换，则有 ∣ ∣ y ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\boldsymbol{y}|| = ||\boldsymbol{x}|| ∣∣y∣∣=∣∣x∣∣。
证明 ∣ ∣ y ∣ ∣ = y T y = x T P T P x = x T x = ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\boldsymbol{y}|| = \sqrt{\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{y}} = \sqrt{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{P}^T \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}} = \sqrt{\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}} = ||\boldsymbol{x}|| ∣∣y∣∣=yTy=xTPTPx=xTx=∣∣x∣∣。得证。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-447225.html
由于 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\boldsymbol{x}|| ∣∣x∣∣ 表示向量的长度，相当于线段的长度，因此 ∣ ∣ y ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\boldsymbol{y}|| = ||\boldsymbol{x}|| ∣∣y∣∣=∣∣x∣∣ 说明经正交变换线段长度保持不变。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-447225.html
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