数据结构学习分享之树的介绍-Toy模板网

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数据结构学习分享之树的介绍

1. 前言🚩

前面我们学的都是链式结构或数组这种线性结构,今天我们正式开始学习"树"这个结构.树涉及的问题有很多,包括普通树,二叉树,二叉树又分完全二叉树和非完全二叉树,而我们要掌握的结构"堆"其本质就是一种完全二叉树, 所以在开始讲堆之前,我们应该先了解一些树相关的知识

2. 树的概念以及结构🚩

2.1 树的概念🏁

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的.

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点.

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

平平无奇的一棵树:

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注意,子树之间是不能又交集的,否则就不能称为树结构:

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2.2 树的相关概念🏁

有一些专有名词需要我们了解,我这里给出一个图方便理解:

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节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

这里我将常见的并且用的比较多的概念换了一个颜色

2.3 树的表示(代码实现)🏁

表示树形结构有很多种方式,比如:

方法一:提前知道树的度数为N

struct TreeNode
{
   int data;
   struct TreeNode* subs[N];//存储此节点的孩子,最多有N个孩子
}

这里前提我们知道树的度,也就是一个节点最大的孩子树,我们可以设计一个结构体,里面存储当前节点要存储的值,并且在结构体中定义一个结构体数组来存储此节点的孩子.

这里表示树的结构的方式有很多,我就不做一一介绍,接下来介绍一个最屌的结构也是最常用的结构:左孩子右兄弟法!
我们用这个树来举个例子:

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typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* NextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
}

这种结构属于是牛人才能想出来!这里我们画图理解一下:

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这样我们就可以依次把所有节点都遍历一遍了

3. 二叉树的概念以及结构🚩

数中这么复杂的结构,最常用的还是二叉树,这里就引出二叉树的概念

3.1 二叉树概念🏁

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：(这些情况以及这些情况的组合情况都称为二叉树)

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有人说可以用下面这张图辨别一个人是不是程序员,如果他看见图的第一眼想到的是:这不就是个满二叉树嘛,那么他大概率是程序员!

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3.2 特殊的二叉树🏁

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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3.3 二叉树的性质🏁

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀ , 度为2的分支结点个数为n₂ ,则有 n₀＝n₂ ＋1

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1) .

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

因为这一章节是全新的内容,所以定义和性质很多,请大家要耐心阅读!

3.4 二叉树的存储结构🏁

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构:

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

数据结构学习分享之树的介绍这里非完全二叉树存储在顺序结构中时,数组中有空元素,而完全二叉树存储时没有空元素

链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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