本章知识重点：
向量范数：定义、性质、等价性、分析性质
矩阵范数：定义、算子范数
矩阵范数与向量范数的相容性
矩阵的普半径及应用：普半径、矩阵序列及级数中的应用
矩阵的条件数及应用：矩阵的条件数、误差估计中的应用
1. 范数
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。
我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。
在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算 AX = B，可以将向量 X 变化为 B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。
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2. 向量范数
2.1 向量范数定义
2.1.1 1范数、2范数、和∞范数
以下就是1范数、2范数、和∞范数的定义。
2.1.2 P范数
再补充一个2范数的定义
由2范数推出P范数
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在三维空间中绘制范数图形，如下：
根据上图 p 的取值不同，p-范数图形有着不同的变化，一个经典的有关 p-范数示意图，如下：
上图表示了 p 从无穷到 0 变化时，三维空间中到原点的距离（范数）为 1 的点构成的图形的变化情况。以常见的 2-范数（p = 2）为例，此时的范数也即欧氏距离，空间中到原点的欧氏距离为 1 的点构成了一个球面。一般没加下标的范数，是省略了下标 2，代表的意思为求向量模长。
2.1.3 ∞范数和-∞范数
2.1.4 几种常用范数
看个例题
2.1.5 引理-Holder不等式（乘积形式）
2.1.6 引理-Minkowski不等式（和形式）
2.2 向量范数的性质
2.2.1 向量范数的基本性质
2.2.2 利用已知的向量范数构造新的向量范数
2.3 向量范数的等价性
利用已知向量范数可以构造新的向量范数。
2.4 向量范数的应用
3. 矩阵范数
3.1 矩阵范数的定义
3.1.1 Frobenious范数的证明
3.1.2 Frobenious范数的酉不变性
3.1.3 矩阵范数的等价性
3.2 矩阵范数与向量范数的相容性
3.2.1 相容性
一般结论：
- 向量1范数与矩阵m1范数相容
- 向量2范数与矩阵F范数相容
- 向量1范数、2范数、∞范数均与矩阵m∞范数相容
- 任何向量范数都存在与之相容的矩阵范数（算子范数）
下面看例题，证明相容性
3.2.2 算子范数（诱导范数）
2范数的性质
下面看例题
各范数之间的关系（重要）
3.2.3 由矩阵范数构造与之相容的向量范数
前面是由向量范数诱导出矩阵范数，现在我们来看，如何由矩阵范数构造相容的向量范数
说明矩阵范数和向量范数之间是可以相互诱导的
4. 矩阵的谱半径及应用
定理一
定理二
定理三
正规矩阵的谱半径和谱范数完全相同
下面看例题-怎么求谱半径
5. 矩阵序列及级数中的应用
5.1 矩阵序列与极限
必要性证明
充分性证明
矩阵序列的极限运算的基本性质
5.2 收敛矩阵和幂序列
- 矩阵序列充要条件的证明
- 收敛矩阵充要条件的证明
其他重要定理
看一个例题-证明矩阵是否为收敛矩阵
5.3 矩阵级数和矩阵幂级数
5.3.1 矩阵级数
看个例子
5.3.2 矩阵幂级数
矩阵幂级数的收敛性
收敛半径-Cauchy Hadamard定理（柯西定理）
初等函数的泰勒展开式
矩阵幂级数的泰勒展开式
看例题
6. 矩阵的条件数及应用
6.1 条件数的定义
6.2 误差估计中的应用
定理1
推论1
定理2
下面看几个例题
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