前面介绍了变分法与极小值原理的基础思想，之后有一个非常重要的应用就是线性二次型的最优控制问题。假如系统是线性的，性能泛函是状态变量与控制变量的二次型函数的积分，那么这样的问题称之为线性二次型最优控制问题。形如：
上式中，Q1为状态加权矩阵，Q2为控制加权矩阵，Q0为终端加权矩阵。(有些书中把Q2矩阵写作R矩阵)
在实际应用中，Q1，Q2是对称矩阵并且常取对角阵。
在实际的应用中，第一项为 Lx = 1/2 * xT * Q1 * x，其中x表示状态误差，x越大，代价函数Lx越大，Q1的对角线上的元素q1i表示的是对应误差分量xi的重视程度，越被重视的误差分量，就希望它越小，相应的加权系数就取得越大：
例如上式，对x1更重视，就把q11设置得更大一点。
被积函数中的第二项 Lu = 1/2 * uT * Q2 * u，代表动态过程中对控制的约束与要求。一般就取单位阵就可以。
被积函数中的第三项突出了对终端误差的要求，看自身需求来确定，在有些场合需要，在有些场合不需要。
对于一般的系统，如何进行求解？可以按照下面的步骤：
对于以上的一般系统，可以先构造哈密顿函数：
之后根据最优控制求出最优控制时的控制量u的表达式，之后根据正则方程，将最优的u带入进去，得到一个最优轨迹的表达式以及λ：
之后引入一个新的矩阵P来表示λ与x的关系：λ = Px，之后便可以由P表示出最优控制率K，之后再将引入控制器的u带入回原系统(此时u可以由x来表示，因此可以合并)，得到原系统的闭环表达式，之后便可以得到一个黎卡提方程：
以上只是演示一下推导的步骤，实际上当然不需要这么繁琐，这个黎卡提方程也不需要我们每次都手算，由matlab，我们可以得到一个matlab推荐的值，不过这个黎卡提的一般求解方法也确实是一个世界难题。
实例：
假设我们有一个比较简单的系统：x_dot = x + u，性能泛函就是线性二次型性能泛函的一般形式，那么按照这个步骤，便可以求出一个最优控制率：
其实使用matlab的话，是可以直接得到这个矩阵K的，之后代入就可以了，我自己做了一个简单的sumilink模型来验证一下：
按照那个方程画出模型：
之后就可以看出最后的控制效果：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-448825.html
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