行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前置知识

1.列向量组维数增加时,向量组的极大无关组增加(或不变)。
2. 三秩相等

向量组证明

直观证明

行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】
这两个列向量显然是相关的。
行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】
这两个列向量当a和b取k和2k的时候相关(k为任意常数),当不是k和2k的时候无关,因此列向量组的极大无关组的向量个数增加(或不变)

利用方程组证明

当列向量相关时
行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】
可以看到有无穷多个解。
添加维数:
行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】
可能有无穷多个解,也可能只有0解
含义是,添加了维数,列向量组可能从相关变成无关
或者这样考虑,本来是有一些解的,然而增加了维数相当于增加了了一个方程,相当于增加了一个约束条件,因此,原来的解可能就不是新方程组的解了,即列向量组的无关性增加了
当列向量不相关时,增加约束条件一定就更不相关了
因此,题设得证。

三秩相等说明

在这篇文章中进行了简要说明:矩阵和向量组的关系

行列向量的维数和个数的关系

有了前面的材料,首先我们知道了列向量组维数增加,那么列向量组的极大无关组的个数增加(或不变),因此列秩增加(或不变)。又因为列秩等于行秩(三秩相等),行秩增加(或不变)行向量组的线性无关组的个数增加(或不变)

列向量组的维数增加,我们可以等价于这个行向量组的个数增加。

因此,通过记住列向量维数的性质,就可以把行列向量的个数和行列向量向量的维数联系起来了。

eg:
问:行向量组的个数增加,行向量组的秩怎么变化?矩阵的秩怎么变化?
答:行向量组的秩增加,矩阵的秩增加。
原因:1. 行向量组的个数增加就是列向量组的维数增加(或不变)(行列转化),因此列秩增加(或不变)(知识1),因此,行秩增加(或不变),矩阵的秩增加(或不变)。(三秩相等文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-448877.html

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