证明矩阵二范数的平方等于转置矩阵与原矩阵相乘后的二范数

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定理:

对于任意的矩阵 A ∈ R n × m A \in R^{n\times m} ARn×m,有 ∥ A ∥ 2 2 = ∥ A T A ∥ 2 \left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2 A22= ATA 2

证明:

假设矩阵 A T A A^TA ATA最大特征值为 λ \lambda λ,即 ∥ A ∥ 2 2 = λ \left\|A\right\|_2^2=\lambda A22=λ,设 λ \lambda λ对应的特征向量为 x x x,则有:
A T A x = λ x A^TAx=\lambda x ATAx=λx同时可以得到以下等式:
( A T A ) A T A x = λ A T A x = λ 2 x (A^TA)A^TAx=\lambda A^TAx=\lambda ^2x (ATA)ATAx=λATAx=λ2x上式表明 λ 2 \lambda ^2 λ2同时是 ( A T A ) A T A (A^TA)A^TA (ATA)ATA的特征值,而根据上一篇文章,可以知道 ∥ A T A ∥ 2 ≤ ∥ A T ∥ 2 ∥ A ∥ 2 = ∥ A ∥ 2 2 = λ \left\|A^TA\right\|_2\le \left\|A^T\right\|_2\left\|A\right\|_2=\left\|A\right\|_2^2=\lambda ATA 2 AT 2A2=A22=λ,所以可知 ∥ A T A ∥ 2 = λ 2 = λ \left\|A^TA\right\|_2=\sqrt {{\lambda}^2} = \lambda ATA 2=λ2 =λ,故 ∥ A ∥ 2 2 = ∥ A T A ∥ 2 \left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2 A22= ATA 2成立,定理得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-449164.html

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