【线性代数】一、行列式和矩阵-Toy模板网

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一、行列式

1.1 行列式性质

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣$
行列互换其值不变， $A^T|=|A|$
$A^*|=|A|^{n-1}(由AA^*=|A|E推导而来)$
行列式可拆分：某行\列元素是两个元素之和，可拆为两个行列式之和

行列式基本变换

行列式行或列互换，其值不变
行列式中某行或某列有公因子k，可以提到行列式之外
- 推论：行列式某行、列为0，行列式为0
行列式中某行或列的k倍加到另一行或列，行列式的值不变
行列式中的两行或两列对应成比例，行列式值为零

1.2 余子式

余子式和代数余子式

行列式按照行列展开的展开公式

$A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$

一、行列式求解

1.用行列式

【线性代数】一、行列式和矩阵

2.用矩阵

当 $|A|\neq 0$ 的时候，有 $A*=|A|A^{-1}$
由于A^*是由A_ij构成的，所以得出A^*就可以得出所有的A_ij

3.用特征值

设A为三阶可逆矩阵，其特征值分别为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，则A^-1的特征值为 $\lambda_1^{-1}, \lambda_2^{-1}, \lambda_3^{-1}$
由 $A*=|A|A^{-1}$ 可知，
$\lambda_1^*=\lambda_2\cdot \lambda_3$
$\lambda_2^*=\lambda_1\cdot \lambda_3$ ,
$\lambda_3^*=\lambda_1\cdot \lambda_2$

1.3 行列式计算

一、具体形行列式

(1)直接运算

1.行\列和相等类型

行列和相等的矩阵，一般处理方法是将其他行或列依次加到第一行或列，此时第一行或列上的元素相等。
当行列和相等矩阵中的a元素位于副对角线时，应该依次对换各行或者各列。

2.爪形、异爪形行列式

消去其中的一条爪
直接计算

(2)化为12+1个基本行列式

1. 主副对角线行列式

副对角线： $(-1)^{\frac{a(a-1)}{2}}a_{1,n}a_{2,n-1}a_{3,n-2}...a_{1,n}$

2. 拉普拉斯展开式

注意副对角拉普拉斯需要加上系数(-1)^nm
TIPS：对于分块矩阵的行列式的运算，为主对角线相乘加上(-1)^nm的副对角线

3. 范德蒙行列式

TIPS:

具体形行列式计算时，应该化出尽量多的0
没有0则对差别最小的元素进行处理

(3)加边法

某些一开始不适用互换、倍乘、倍加的行列式，可以考虑使用加边法：将n阶行列式添加一行和一列升至n+1阶行列式

(4)递推法

递推法主要是用于处理一般方法处理不了的异爪型行列式
递推法主要是找出D_n和D_n-1的递推关系式，实现递推，所需条件是：1.D_n比D_n-1只多一阶 2.元素分布规律相同
Tip：

在进行消去的时候，应该尽量使得数行或数列都为0。在进行运算时应该选择差别最小的两行进行操作。在行列和相等的题目中最常见

(5)数学归纳法

【线性代数】一、行列式和矩阵

二、抽象行列式

【线性代数】一、行列式和矩阵
上述的思想十分重要，将方程矩阵化是线性代数很多题目的求解核心。如果出现了多个约束方程，则可以使用方程组矩阵化

二、矩阵

2.1 概念

$(k A)$	$(A + B)$	$A B$
$kA\|=k^n\|A\|$	$\|A+B\|\neq\|A\|+\|B\|$	$∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣$
$kA^T)=kA^T$	$A+B)^T=A^T+B^T$	$AB)^T=B^TA^T$
$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$	$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$	$AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$kA)^=k^{n-1}A^$	$(A+B)^\neq A^+B^*$	$AB)^=B^A^*$
互换
$A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$	$A^)^{-1}=(A^{-1})^$	$A^)^T=(A^T)^$

穿脱原则:
$AB)^*=B^*A^*$ , $AB)^T=B^TA^T$ , $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

矩阵等价

如果存在矩阵A、B使得 $P A Q = B$ ，则称两个矩阵等价
性质：
反身性、传递性、等价性
|A|=k|B|
r(A)=r(B)

2.2 矩阵运算

1.基本运算

相等、加法、数乘
A是一个阶方阵，则A^m=AAA…A为A的m次幂

转置矩阵

运算规律：

$A^T)^T=A$
$kA)^T=kA^T$
$A+B)^T=A^T+B^T$
如果是方阵， $A^T|=|A|$

几种重要矩阵

对称矩阵：A^T=A的矩阵称为对称矩阵，A^T=-A的矩阵称为A的反对称矩阵
满足A^TA=E(A^T=A^-1)的为正交矩阵，此时A的行或列向量组是标准正交向量组
分块矩阵

2.矩阵乘法

结合律(AB)C=A(BC)：比如 $A^TBA^TBA^TB=A^T(BA^TBA^T)B$
分配律A(B+C)=AB+AC
$r(AB)\leq min(r(A),r(B))$

矩阵乘法没有交换律，也就是 $AB\neq BA$
推广1：由上述可知，存在 $A\neq O$ 并且 $B\neq O$ 但是 $A B = O$ 的情况
推广2： $(AB)^3 = ABABAB \neq A^3B^3$
推广3： $AB=AC\implies A(B-C)=O$ , 在 $A\neq O$ 的情况下无法推导出 $B = C$
推广4： $A^2-B^2 \neq (A-B)(A+B)$

3.向量内积和正交

内积：向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 的内积为 $\alpha^T\beta=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$ 记作 $(\alpha,\beta)$
正交: $\alpha^T\beta=0$ 的时候，向量 $\alpha$ 和 $\beta$ 正交
模： $||\alpha||=\sqrt {a_i^2}$ ，若 $||\alpha||$ 称 $\alpha$ 为单位向量

4.施密特正交化（又称正交规范化过程）

将线性无关向量组 $\alpha_1，\alpha_2$ 的标准正交化公式为:
$\beta_1=\alpha_1$ $\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$
将 $\beta_1,\beta_2$ 单位化得 $\eta_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||}$ , $\eta_2=\frac{\beta_2}{||\beta_2||}$

TIPS：

对于抽象向量组，需要考虑将向量组矩阵化求解

2.3 矩阵的逆

1.逆矩阵定义

定义：如果AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并且B是A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，记作A^-1

A可逆的充分必要条件是 $|A|\neq0$
并且A可逆的时候有 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

2.逆矩阵的性质和公式

$A^{-1})^{-1}=A$
$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
$AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
若A^T可逆，则 $A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$A^{-1}|=|A|^{-1}$

3.逆矩阵的计算

抽象形：

找到矩阵B使得AB=E，则A^-1=B
将A分解为若干个可逆矩阵的乘积， $A=BC\to A^{-1}=C^{-1}B^{-1}$

具体形：

$A^{-1}= \frac1{|A|}A^*$ (适用于规模位于3阶及以下的矩阵)
使用初等行变换求矩阵的逆矩阵，即 $[A|E]\to[E|A^{-1}]$

分块矩阵求逆：

【线性代数】一、行列式和矩阵
这是根据 $[A|E]\to[E|A^{-1}]$ 结合方程组推导出来的， $C^{-1}DB^{-1}$ 可以记作为左乘同行，右乘同列，然后取反

n阶对角\副对角矩阵求逆

2.4 伴随矩阵

【线性代数】一、行列式和矩阵
需要注意的是，伴随矩阵内代数余子式A_ij的位置是在j行i列而非i行j列

性质和重要公式

对任意n阶方阵A都有伴随矩阵A^*，有 $AA^*=A^*A=|A|E$ 并且 $A^*|=|A|^{n-1}$
当 $|A|\neq0$ 的时候，有

$A^*=|A|A^{-1}\Leftrightarrow A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\Leftrightarrow A=|A|(A^*)^{-1}$
$kA)(kA)^*=|kA|E$ ，此处的kA可替换为A^-1、A^*
$A^*|=|A|^{n-1}$ ，可递推为 $A^*)^*=|A|^{n-2}A$ ，并且有 $A^*)^*|=|A|^{(n-1)^2}$
A^*的秩相关
$AB)^*=B^*A^*$

2.5 初等变换和初等矩阵

1.行列式初等变换和矩阵初等变换的异同

行列式两行/列互换，行列式值反号；矩阵两行/列互换，矩阵不变
行列式值乘以k倍，相当于行列式的某行/列乘以k倍；n阶矩阵乘以k倍，相当于矩阵中每一行乘k倍
行列式和矩阵的某行/列加上k倍的另外一行/列，行列式和矩阵都不变

2.初等矩阵性质

初等矩阵的转置仍是初等矩阵
初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍然是同一类型初等矩阵
如果A是可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积

3.判断正交以及矩阵正交化

TIPS：
若干个初等矩阵相乘，可凑成一个可逆矩阵

2.6 秩

1.定义

【线性代数】一、行列式和矩阵

2.公式

A是m x n矩阵，则 $0\leq r(A)\leq min(m,n)$
$r (k A) = r (A)$
P和Q是可逆矩阵，则 $r (A) = r (P A) = r (P A Q)$ ，也就是A作初等变换不改变秩的值。同理可知，r(AB)<r(A)，则r(B)<n，也就是B不可逆
$r(AB)\leq min(r(A),r(B))$
$r(A+B)\leq ([A|B])\leq r(A)+r(B)$
设A为m x n矩阵，AB=O，则 $r(A)+r(B)\leq n$
设A为m x n矩阵， $r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)$ (四秩相同)

根据上述推导可得出，设A为n阶方阵
n=2时， $A^*)^*=A$
n>2时，如果A是可逆矩阵，则 $A^*)^*=|A|^{n-2}A$
n>2时，如果A是不可逆矩阵，则 $A^*)^*=O$
A为n阶方阵，A²=A，可得r(A)+r(A+E)=n
A为n阶方阵，A²=E则 $r (A + E) + r (A - E) = n$
三秩相等：A的秩=A的行秩=A的列秩

3.考法

用阶梯型

将矩阵化为阶梯型矩阵

2.7 矩阵相关题型

1. $A^n$ 的题目类型

(1) A是方阵

若A可拆分为 $\alpha\beta^T$ ，则r(A)=1，这种情况下，有：
$A^n=\alpha(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)....(\beta^T\alpha)\beta^T=[tr(A)]^{n-1}*A$

(2)使用 $A^2,A^3$ 推算出规律

最典型的两种情况是A²=kA或者A²=kE，
注意：矩阵的行列基本变换可能会破坏该规律，因此拿到题后，最好先不要进行行列基本变换

(3)A分解为B和C

【线性代数】一、行列式和矩阵

(4)用初等矩阵求P₁ⁿAP₂^m

如果P₁和P₂是初等矩阵，则P₁ⁿAP₂^m表示对A作n次P₁的初等行变换和m次P₂的初等列变换

(5)用相似理论求Aⁿ(重点)

如果 $A B$ ，也就是A=P^-1BP，则Aⁿ=P^-1BⁿP，
如果 $A\sim \lambda$ ，则 $A_n=P_{-1}\Lambda_nP$

在题目要求的矩阵A的n次方无法直接求解的时候，使用求特征值和特征向量，求出其相似矩阵，使用相似矩阵代替A来求n阶矩阵

2.矩阵方程

矩阵方程式含有未知矩阵的方程

基本化简手段

消除\提取公因式
移项
使用公式

求解

1.通过左右同乘分解为 $X=A^{-1}B，X=BA^{-1}，X=A^{-1}CB$
2.如果A不可逆，比如AX=B，可以将X和B按列分块，转化为求线性方程组
3.如果上面都不行，则应该设未知矩阵 $X=(x_{ij})$ ，直接代入方程到含未知量为x_ij的线性方程组，从而求的X文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-449429.html

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【线性代数】一、行列式和矩阵

一、行列式

1.1 行列式性质

1.2 余子式

行列式按照行列展开的展开公式

一、行列式求解

1.用行列式

2.用矩阵

3.用特征值

1.3 行列式计算

一、具体形行列式

(1)直接运算

1.行\列和相等类型

2.爪形、异爪形行列式

(2)化为12+1个基本行列式

1. 主副对角线行列式

2. 拉普拉斯展开式

3. 范德蒙行列式

(3)加边法

(4)递推法

(5)数学归纳法

二、抽象行列式

二、矩阵

2.1 概念

矩阵等价

2.2 矩阵运算

1.基本运算

转置矩阵

几种重要矩阵

2.矩阵乘法

3.向量内积和正交

4.施密特正交化（又称正交规范化过程）

2.3 矩阵的逆

1.逆矩阵定义

2.逆矩阵的性质和公式

3.逆矩阵的计算

抽象形：

具体形：

分块矩阵求逆：

n阶对角\副对角矩阵求逆

2.4 伴随矩阵

性质和重要公式

2.5 初等变换和初等矩阵

1.行列式初等变换和矩阵初等变换的异同

2.初等矩阵性质

3.判断正交以及矩阵正交化

2.6 秩

1.定义

2.公式

3.考法

用阶梯型

2.7 矩阵相关题型

1. A n A^n An的题目类型

(1) A是方阵

(2)使用 A 2 , A 3 A^2,A^3 A2,A3推算出规律

(3)A分解为B和C

(4)用初等矩阵求P1nAP2m

(5)用相似理论求An(重点)

2.矩阵方程

基本化简手段

求解

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二维码1

二维码2

1. $A^n$ 的题目类型

(2)使用 $A^2,A^3$ 推算出规律

(4)用初等矩阵求P₁ⁿAP₂^m

(5)用相似理论求Aⁿ(重点)