假设网络中度数为 k k k 的节点有 N k N_k Nk 个，总共有 N N N 个节点，则度数为 k k k 的节点出现的概率可以表示为：
P ( k ) = N k N P(k) = \frac{N_k}{N} P(k)=NNk
在NW小世界网络中，每个节点有 k k k 条边，其中 k k k 是一个偶数， k / 2 k/2 k/2 条边与相邻节点相连，另外 k / 2 k/2 k/2 条边与远离节点相连。因此，一个节点的所有邻居节点可以分为两类：相邻节点和远离节点。
现在考虑相邻节点之间的连接情况。相邻节点之间的连接有两种情况：一种是它们之间已经有一条边了，另一种是它们之间没有边，但可以添加一条边以形成一个三角形。假设每个节点的相邻节点有 k n n k_{nn} knn 个，由于每个节点有 k k k 条边，因此有 k / 2 − k n n k/2-k_{nn} k/2−knn 条边与远离节点相连。由于NW小世界网络是随机网络，因此相邻节点之间的连接概率与它们之间的距离无关，即两个相邻节点之间添加一条边的概率为 p p p。
添加一条边后，可以得到一个三角形，三角形的个数为：
N t r i = 1 3 ⋅ ∑ i = 1 N C k i 2 = 1 6 ⋅ ∑ i = 1 N k i ( k i − 1 ) N_{tri} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=1}^{N} C_{k_i}^{2} = \frac{1}{6} \cdot \sum_{i=1}^{N} k_i(k_i-1) Ntri=31⋅i=1∑NCki2=61⋅i=1∑Nki(ki−1)
其中 C n m C_n^m Cnm 表示从 n n n 个元素中选取 m m m 个元素的组合数。由于每个三角形会被三个节点所包含，因此三角形的总数为 N t r i / 3 N_{tri}/3 Ntri/3。
接下来需要求解度分布的标准差 σ \sigma σ，由于NW小世界网络是随机网络，因此节点度数的方差可以表示为：
σ 2 = ⟨ k 2 ⟩ − ⟨ k ⟩ 2 \sigma^2 = \langle k^2 \rangle - \langle k \rangle^2 σ2=⟨k2⟩−⟨k⟩2
其中 ⟨ k 2 ⟩ \langle k^2 \rangle ⟨k2⟩ 和 ⟨ k ⟩ \langle k \rangle ⟨k⟩ 分别表示节点度数的平方和平均值。由于每个节点有 k k k 条边，因此：
⟨ k ⟩ = k \langle k \rangle = k ⟨k⟩=k
接下来需要求解 ⟨ k 2 ⟩ \langle k^2 \rangle ⟨k2⟩。每个节点的度数为 k k k，因此：
⟨ k 2 ⟩ = 1 N ⋅ ∑ i = 1 N k i 2 \langle k^2 \rangle = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i=1}^{N} k_i^2 ⟨k2⟩=N1⋅i=1∑Nki2
由于每个节点有 k k k 条边，因此有 k ( k − 1 ) / 2 k(k-1)/2 k(k−1)/2 条边连接到其他节点的概率为：
p = k / 2 − k n n N − 1 p = \frac{k/2-k_{nn}}{N-1} p=N−1k/2−knn
其中 N − 1 N-1 N−1 表示除了自己以外的所有节点数。
对于一个度数为 k k k 的节点，它与相邻节点之间添加一条边形成一个三角形的概率为 p p p，因此它被包含在一个三角形中的概率为 p ⋅ k n n p\cdot k_{nn} p⋅knn。另外，它与远离节点之间添加一条边的概率为 ( k / 2 − k n n ) / ( N − 1 ) (k/2-k_{nn})/(N-1) (k/2−knn)/(N−1)，因此它的度数可以增加 1 1 1 的概率为 ( k / 2 − k n n ) / ( N − 1 ) (k/2-k_{nn})/(N-1) (k/2−knn)/(N−1)。因此，一个度数为 k k k 的节点可以通过与相邻节点连接形成一个三角形或通过与远离节点连接增加度数 1 1 1，从而获得度数为 k + 1 k+1 k+1 的节点。因此，度数为 k k k 的节点数 N k N_k Nk 可以表示为：
N k = k n n ⋅ p ⋅ N + ( k / 2 − k n n ) ⋅ k − 1 N − 1 ⋅ N N_k = k_{nn} \cdot p \cdot N + (k/2-k_{nn}) \cdot \frac{k-1}{N-1} \cdot N Nk=knn⋅p⋅N+(k/2−knn)⋅N−1k−1⋅N
将 p p p 的值带入上式并化简，可以得到：
N k = k n n ⋅ k N − 1 ⋅ N + k ( k − 1 ) 2 ( N − 1 ) ⋅ N N_k = k_{nn} \cdot \frac{k}{N-1} \cdot N + \frac{k(k-1)}{2(N-1)} \cdot N Nk=knn⋅N−1k⋅N+2(N−1)k(k−1)⋅N
将上式化简后，可以得到NW小世界网络的度分布公式为：
P ( k ) = k n n ⋅ k N − 1 + k ( k − 1 ) 2 ( N − 1 ) P(k) = \frac{k_{nn} \cdot k}{N-1} + \frac{k(k-1)}{2(N-1)} P(k)=N−1knn⋅k+2(N−1)k(k−1)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-449479.html
其中 k n n k_{nn} knn 表示每个节点的相邻节点个数， N N N 表示节点总数。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-449479.html
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