高数十七讲 专题十四 常数项级数的敛散性
1、级数的概念
2、级数的性质
①数乘 
——看
是否收敛
②加减 
——看
是否收敛。收敛±发散=发散，发散±发散=不确定。
③在级数中去掉、加上或改变有限项——和原级数同敛散。
④级数收敛→加括号以后收敛。
加括号以后收敛，则原级数不一定收敛；
加括号以后发散→原级数一定发散；
⑤已知级数收敛，则
。要证明级数发散可以通过证明：
。
eg.交错级数用莱布尼茨准则，若级数不是从第1项开始单调减的，而是从第5项开始单调减的，不影响敛散性。使用性质③
eg.(1-1)+(1-1)+(1-1)+……收敛,1-1+1-1+1-1+……不收敛。使用性质④推论
由
3、级数的审敛准则
正项级数
基本定理：正项级数收敛
部分和数列Sn有上界。(原理：极限存在准则2单调有界准则，显然，Sn单调增)
①比较法：比较两正项级数通项
大收敛则小收敛，小发散则大发散。
②比较法的极限形式：两正项级数通项之比 取极限
分子和分母同阶/等价，分子分母同敛散；
分子比分母小，大收敛则小收敛，小发散则大发散。
分子比分母大，大收敛则小收敛，小发散则大发散。
③比值法：同一个级数后项比前项 取极限
。
④根值法：同一个级数通项开n次方 取极限
⑤积分判别法：若f(x)在[1,+∞)上单调减、非负，连续，且，则级数与反常积分
同敛散。
【比较法的特点：找同阶/等价无穷小。同阶/等价就可以使
=，0＜＜+∞，分子分母同敛散】
比较法需要找其他的级数，非最简便，优化后：可通过级数本身判断敛散性→①比值法 ②根值法
比值法和根值法：相当于把正项级数
近似看作等比级数
，
积分判别法用的较少，常用于正项级数【收敛，发散】和正项级数【收敛，发散】.
正项级数的通项中没有出现级数三巨头——用比较法和比较法的极限形式。选用一个p级数或等比级数作为比较基准。
正项级数的通项中出现级数三巨头【、、!】时——!用比值法，、 用根值法。
| 正项级数判定敛散性常用的方法 | 优点 | 缺点 | 使用场景 |
|---|---|---|---|
| 第一类①比较法②比较法的极限形式 | 适用面广 【比值法和根值法能判定敛散性的级数，比较法和比较法的极限形式都能判定，虽然可能麻烦些】 |
不方便【要找到一个准确适用的级数作为比较基准】 |
正项级数的通项中没有出现级数三巨头。 选用一个p级数或等比级数作为比较基准 |
| 第二类③比值法④根值法 | 方便【直接用自己本身这个级数，就能判定敛散性】 | 适用面窄 【当ρ=1时无法判定级数敛散性】 |
正项级数的通项中出现级数三巨头【、、!】。 !一般用比值法 |
交错级数
有规律的变项级数
莱布尼茨准则：数列单调减，且
，则交错级数收敛。
(逆向不成立，交错级数收敛推不出单调减，只能推出
任意项级数
无规律的变项级数
基本原理：加上绝对值变成正项级数
①绝对收敛、条件收敛的概念:
情况一：任意项级数的绝对值级数收敛，则级数本身一定收敛。称级数绝对收敛。
情况二：任意项级数本身收敛，它的绝对值级数发散。称级数条件收敛。
②绝对收敛和条件收敛的结论：
1、绝对收敛的级数一定收敛，即
2、条件收敛的级数eg:+,+,+,-,+,-,-…，其所有正项or所有负项构成的新级数发散，即文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-449994.html
(原因就是∑un收敛±∑|un|发散=发散)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-449994.html
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