矩阵乘积的秩定理

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矩阵乘积的秩定理

两个矩阵乘积的秩不大于其每个因子的秩;特别的当其中一个因子可逆时,那么乘积的秩等于另一个因子的秩。

证明

假设 A是一个m x n的矩阵,B是一个n x s的矩阵, r是A的秩。若 s < r s\lt r s<r,自然秩 A B ≤ 秩 A AB \le 秩A ABA.
所以主要讨论 s ≥ r s\ge r sr, 通过对A进行初等变换可以得到
E 1 E 2 . . . E p A E p + 1 . . . E q = A ‾ = ( I r    0 0    0 ) E_1E_2...E_pAE_{p+1}...E_q = \overline A = \left( \begin{array}{ccc} I_r\ \ 0\\ 0\ \ 0 \end{array} \right) E1E2...EpAEp+1...Eq=文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-450065.html

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