第四章 二次型
一、二次型定义
如果系数aij全为实数，那么为实二次型。上述二次型展开式可表示用矩阵为
可以看出，二次型矩阵A是一个对称矩阵，也就是满足AT=A，一个实对称矩阵对应的则是一个实二次型。一个二次型有多种写法，也有多个展开式，但是二次型矩阵是唯一的，各个等价的二次型展开式能够化为同一个二次型矩阵
二、合同变换
1.线性变换
那么称*为线性变换，C为线性变换的系数矩阵，如果系数矩阵可逆，那么称为可逆线性变换（常用于配方法），如果是正交矩阵，则称为正交矩阵（用于正交变换法 ）。
给出二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx，令x=Cy，那么就有 f ( x ) = ( C y ) T A ( C Y ) = y T ( C T A C ) y f(x)=(Cy)^TA(CY)=y^T(C^TAC)y f(x)=(Cy)TA(CY)=yT(CTAC)y记B=CTAC，那么就有 f ( x ) = y T B y = g ( y ) f(x)=y^TBy=g(y) f(x)=yTBy=g(y)，也就是说二次型f(x)通过线性变换x=Cy变成了新的二次型g(y)
2.矩阵合同
设n阶矩阵A、B是二次型f(x)和g(y)的二次型矩阵，如果存在可逆矩阵C使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B那么A和B合同，此时称f(x)和g(y)为合同二次型。
性质：
- 反身性：A和自身合同
- 对称性：A合同于B，则B合同于A
- 传递性：A和B合同，B和C合同，则A和C合同
- 如果A和B合同，则有r(A)=r(B)，因此可逆线性变换不会改变二次型的秩
- 根据4.可推导出，和对称矩阵合同的也是对称矩阵。因为如果A、B为对称阵，则有 B T = ( C T A C ) T = C T A T C = C T A C = B B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B，
判断同阶实对称矩阵A、B是否合同：
1.用定义法：A，B合同
⇔
\Leftrightarrow
⇔存在可逆矩阵C使得CTAC=B
2.用正负惯性指数：A，B合同
⇔
\Leftrightarrow
⇔A，B正负惯性指数相同
3.用传递性：A和B合同，B和C合同，则A和C合同
4.同阶实对称矩阵A,B相似必然合同
5.特征值相同、特征向量相同无法推出A、B合同
对于合同的判别，一定要结合矩阵相似联系理解，并且充分认识到矩阵合同和矩阵相似两个概念是如何联系起来的
题型：
- 已知 A 、 Λ A、\Lambda A、Λ，求可逆矩阵C使得 C T A C = Λ C^TAC=\Lambda CTAC=Λ
- 已知A，B，求可逆矩阵C使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B（需要重点关注）
在此需要将以下概念对比记忆：矩阵合同，矩阵正交，矩阵相似，矩阵等价，向量组等价
标准型和规范型
如果二次型中只含有平方项，没有交叉项，也就是形如
d
1
x
1
2
+
d
2
x
2
2
+
d
3
x
3
2
+
.
.
.
d
n
x
n
2
+
d_1x_1^2+d_2x_2^2+d_3x_3^2+...d_nx_n^2+
d1x12+d2x22+d3x32+...dnxn2+的称之为标准型。
若标准型中，系数di仅为0，-1,1这三种，则称该二次型为规范型
如果二次型 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx合同于标准型，则称其为合同标准型。任何二次型都可以通过配方法化为标准型和规范型，也就是任何实对称矩阵A都存在可逆矩阵C，使得 C T A C = Λ C^TAC=\Lambda CTAC=Λ。任何二次型可以通过正交变换化为标准型，也就是 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda Q−1AQ=QTAQ=Λ。需要注意的是，配方法中的C矩阵并非是特征向量矩阵，因为C不一定是正交矩阵，不存在C-1=C^T
二次型化标准型的方法：
1.配方法
将某个变量的平方项和其相关的混合项合并在一起，配成一个完全平方项。如果不含平方项则通过
x
1
=
y
1
+
y
2
,
x
2
=
y
1
−
y
2
x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2
x1=y1+y2,x2=y1−y2和平方差公式来创造平方项
2.正交变换法
正交变换法的思想如下：
先求出矩阵A的特征值和特征向量，并且组成矩阵：
A
Q
=
Q
Λ
⇔
Q
−
1
A
Q
=
Λ
AQ=Q\Lambda \Leftrightarrow Q^{-1}AQ=\Lambda
AQ=QΛ⇔Q−1AQ=Λ，接着通过施密特正交化，将矩阵Q改造成正交矩阵，则有Q-1=QT，因此
Q
−
1
A
Q
=
Q
T
A
Q
=
Λ
Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda
Q−1AQ=QTAQ=Λ，符合标准型定义
通过正交变换我们可知： Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda Q−1AQ=QTAQ=Λ，也就是 x T A x = y T ( Q T A Q ) y = y T Λ y x^TAx=y^T(Q^TAQ)y=y^T\Lambda y xTAx=yT(QTAQ)y=yTΛy，也就是x=Qy，那么 x T x = ( Q y ) T Q y = y T Q T Q y x^Tx=(Qy)^TQy=y^TQ^TQy xTx=(Qy)TQy=yTQTQy由于 Q T = Q − 1 Q^T=Q^{-1} QT=Q−1，所以 x T x = y T y x^Tx=y^Ty xTx=yTy
基本步骤
3.惯性定理
无论采用何种可逆线性变换将二次型化为标准型或者规范型，其中的正项个数p，负项个数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数
三、正定二次型
二次型正定的充要条件
n元二次型f=xTAx正定
⇔
\Leftrightarrow
⇔对
x
≠
0
x\neq0
x=0有xTAx>0
⇔
\Leftrightarrow
⇔f的正惯性指数p=n
⇔
\Leftrightarrow
⇔存在可逆矩阵D使得A=DTD
⇔
\Leftrightarrow
⇔A和E合同
⇔
\Leftrightarrow
⇔A的特征值全大于0
⇔
\Leftrightarrow
⇔A的全部顺序主子式大于0（最容易用作判断是否正定）
二次型正定的必要条件文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-450249.html
- aii>0
- |A|>0
重要结论文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-450249.html
- 如果A正定，则A-1,A*, Am,kA,AT,CTAC都正定，而且AT=A
- 如果A，B正定，那么A+B正定，其对角分块矩阵正定
- A,B正定，而AB正定的充要条件是AB=BA。（对比记忆：正交阵相乘必然正交）
- 如果矩阵A正定并且正交，那么A=E
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