最近凭着我狗屎一样的数学啃了好长时间的二重积分和三重积分,记录一下自己对此的理解:
对于积分,只是一重定积分的话可以理解为一块图形的面积,取极小的一块区域计算面积然后遍及到整个图像,对图像区域取极限得到面积就是一重定积分的几何意义。
而将上述方式推导到二重积分就是:已知一块面积,以及一个空间曲面,将这块面积堆叠取极限,使其与空间曲面契合,这里使用穿线法计算边界。
常常不理解,二重积分是空间曲顶柱体的体积,那么曲顶柱体的高是什么?
其实按照上面的说法,这个曲顶柱体的高就是f(x, y),某一点的高肯定是能求出来的,但在二重积分的体积计算上并不拘泥于某一点的高。
就像是一重定积分的计算上所围平面的差值并不要逐个求解,只需了解积分区域边缘的函数图像的差值:f( x1 ) - f( x2 ) 那样,二重积分的高就是曲面减底面!如果这个曲面全部在原点平面(空间直角坐标系)上,就是f (x, y)的值!如果有一部分在原点平面之下,计算下来会和原点平面之上的体积值抵消一部分。
二重积分的物理意义是平面薄片的质量,而经常能得到的函数f(x, y)表示的是这一薄片的密度函数。
上述几何意义将此描述为平面的高度,如果将几何意义某一点的高度解释为这一点密度值(可以想象一下将曲顶柱体的高全投影到底面上,不同高度的值用不同颜色标出,像等高线一样,得到平面的密度可视化图像)。
二重积分的f (x, y)图像就已经是空间曲面了,三重积分f (x, y, z)还要多出来一个维度计算量也瞬间爆炸。
三重积分像是在二重积分的基础上增加了一个维度,这个维度可以代表着密度,亦可以用在其他的抽象计算上。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-450294.html
三重积分的物理意义是密度不均的空间物体的质量,f(x, y, z)也就是这个空间物体的密度函数。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-450294.html
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