【数学基础知识】莫利定理(Morley‘s Theorem)及其直观证明-Toy模板网

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前两天看了和三角形相关的一个莫利定理，觉得较为有趣，所以做一个记录。

莫利定理(Morley’s Theorem)

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。
【数学基础知识】莫利定理(Morley‘s Theorem)及其直观证明
看了其他人对该定理的证明，大多都是用了一堆推导，或者用高中的一些正弦余弦定理公式，个人觉得看着较为枯燥。

所以本文从一种直观角度进行证明，过程中仅用到初中知识，但是其中的思想较为有趣。

为证明该定理，首先证明一个引理。

引理

已知： $\triangle ABC$ 中，BD平分 $\angle ABC$ ，CE平分 $\angle ACB$ ， $BD \cap CE = F$ 。

求证： $\angle BFC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC$ 。
【数学基础知识】莫利定理(Morley‘s Theorem)及其直观证明
证明：
由题意知F为 $\triangle ABC$ 的内心。

$\begin{aligned} \angle BFC &= \angle7+\angle 8 \\ &=(\angle 2 + \angle 3) + (\angle 1 + \angle 5) \\ &= \angle BAC + \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCA) \\ &= \angle BAC + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC) \\ &= 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC \end{aligned}$
证毕。

该引理的等价形式：

$\triangle ABC$ 中，AG平分 $\angle BAC$ ， F为AG上一点， $\angle BFC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC$ 。

求证：F为 $\angle ABC$ 的内心。

简要证明：可以假设F不为内心，则可以取 $\angle ABC , \angle ACB$ 的角平分线，必与AG交于另一点 $F^{'}$ 。则根据之前引理的结论，必有 $\angle BF'C = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC = \angle BFC$ ，从而得出 $F$ 和 $F^{'}$ 重合。

接下来证明莫利定理。

莫利定理的证明：

考虑如下的正三角形 $P Q R$ ，在三边的外面分别作一个等腰三角形，底角的大小分别为 $a, b, c$ 。
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$a, b, c$ 均为变量，规定其需满足以下形式：
$120^\circ, \ \ \ \ \ a, b, c < 60^\circ$

分别延长 $P^{'} R, R^{'} Q$ 等线段，延长线构成的角一定等于 $a, b, c$ , 如下图所示：

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因为已知正 $\triangle PQR$ 的每个内角都是 $60^\circ$ , 再加上一个延长线构成的角一共是 $180^\circ$ 。

考虑 $Q R$ 外面的两个大角 $a + b, a + c$ ，因为 $60^\circ$ ，且 $120^\circ$ ，
所以 $Q R$ 外面的两个大角的和 $180^\circ$ ,

$\therefore QR$ 外面的两个延长线( $R^{'} Q, Q^{'} R$ )一定会相交。

同理QP，PR外面的两个延长线也会相交。设延长线的交点分别为A, B, C。如下图所示：
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易知
$\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - (a+b) - (a+c) \\ &= 180^\circ - (a+b+c) - a \\ &= 60^\circ - a \end{aligned}$

同理 $\angle B = 60^\circ - c,\ \ \angle C = 60^\circ - b$ 。

进一步，连接 $P^{'} P$ 并延长，可以发现 $P^{'} P$ 平分 $\angle BP'C$ ，因为 $\triangle QP'P \cong \triangle RP'P(SSS).$

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又有
$\begin{aligned} \angle BPC &= 180^\circ - a \\ &= 90^\circ + \frac{1}{2}(180^\circ - 2a) \\ &=90^\circ + \frac{1}{2}\angle BP'C \end{aligned}$
所以根据上面引理的结论，P为 $\triangle P'BC$ 的内心。

$\therefore BP 平分 \angle QBC$ , $\angle RCB$ 。

同理可证Q为 $\triangle ABQ'$ 的内心， R为 $\triangle AR'C$ 的内心。
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从而可以得到 $A Q, A R$ 是 $\angle BAC$ 的三等分线， $B Q, B P$ 是 $\angle ABC$ 的三等分线， $C P, C R$ 是 $\angle ACB$ 的三等分线。