视频讲解：格林公式记忆方法及简单推导
大家在学格林公式的时候会发现其实书本上给的形式并不容易记忆。
大家可能会产生下述的问题
忘记了逆时针和顺时针哪个是正方向？
忘记了P，Q该对谁求偏导？
忘记了求偏导以后是谁减谁？
本文分为两个部分，第一部分是将格林公式进行转换成更容易记忆的形式。
第二部分是简单的对格林公式进行推导，如果在考场上实在想不起来，也可以通过2-3分钟的计算来得出格林公式。
首先我们要知道，格林公式是建立闭合曲线积分和二重积分的桥梁。
∮
↔
格林公式
∬
\oint{}\xleftrightarrow{\text{格林公式}}\iint{}
∮格林公式
∬
将它完整的写出来
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\oint_L{Pdx+Qdy}=\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy}
∮LPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
记忆方法
逆时针怎么记，大家拿出右手，给自己竖个大拇指，咱们考研人都是棒棒的，然后四指弯曲的方向（逆时针）就是正方向，有勇气去考研同学们都很棒！
然后二重积分被积函数里面的形式怎么记？
可以把它写成行列式的形式
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
=
∣
∂
∂
x
∂
∂
y
P
Q
∣
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|
∂x∂Q−∂y∂P=∣∣∣∣∂x∂P∂y∂Q∣∣∣∣
行列式的形式就很有规律，上面是两个偏导，下面也是按积分顺序的P，Q
如果熟悉哈密顿算子（Nabla算子）的同学也可以记这个形式
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
=
∣
∂
∂
x
∂
∂
y
P
Q
∣
=
∣
∇
×
(
P
,
Q
)
∣
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|=\left| \nabla \times \left( P,Q \right) \right|
∂x∂Q−∂y∂P=∣∣∣∣∂x∂P∂y∂Q∣∣∣∣=∣∇×(P,Q)∣
简单推导
如果实在在考场上记不得，也可以通过简单的方式推导出二重积分里面的被积函数。
用一个最简单的曲线，逆时针的矩形，令左下角的坐标为
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)，右上角的坐标为
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)
对其做线积分，可以拆成4段计算
∮
C
=
∫
C
1
+
∫
C
2
+
∫
C
3
+
∫
C
4
\oint_C{}=\int_{C1}{}+\int_{C2}{}+\int_{C3}{}+\int_{C4}{}
∮C=∫C1+∫C2+∫C3+∫C4
对于
C
1
C1
C1段，
y
=
y
0
,
d
y
=
0
y=y_0, dy=0
y=y0,dy=0
∫
C
1
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
x
0
x
1
P
(
x
,
y
0
)
d
x
\int_{C1}{Pdx+Qdy}=\int_{x_0}^{x_1}{P\left( x,y_0 \right)dx}
∫C1Pdx+Qdy=∫x0x1P(x,y0)dx
对于
C
2
C2
C2段，
x
=
x
1
,
d
x
=
0
x=x_1, dx=0
x=x1,dx=0
∫
C
2
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
y
0
y
1
Q
(
x
1
,
y
)
d
y
\int_{C2}{Pdx+Qdy}=\int_{y_0}^{y_1}{Q\left( x_1,y \right)dy}
∫C2Pdx+Qdy=∫y0y1Q(x1,y)dy
同理可得
∫
C
3
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
x
1
x
0
P
(
x
,
y
1
)
d
x
=
−
∫
x
0
x
1
P
(
x
,
y
1
)
d
x
\int_{C3}{Pdx+Qdy}=\int_{x_1}^{x_0}{P\left( x,y_1 \right)dx}=-\int_{x_0}^{x_1}{P\left( x,y_1 \right)dx}
∫C3Pdx+Qdy=∫x1x0P(x,y1)dx=−∫x0x1P(x,y1)dx
∫
C
4
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
y
1
y
0
Q
(
x
0
,
y
)
d
y
=
−
∫
y
0
y
1
Q
(
x
0
,
y
)
d
y
\int_{C4}{Pdx+Qdy}=\int_{y_1}^{y_0}{Q\left( x_0,y \right)dy}=-\int_{y_0}^{y_1}{Q\left( x_0,y \right)dy}
∫C4Pdx+Qdy=∫y1y0Q(x0,y)dy=−∫y0y1Q(x0,y)dy
则对整个的线积分为
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
x
0
x
1
P
(
x
,
y
0
)
d
x
+
∫
y
0
y
1
Q
(
x
1
,
y
)
d
y
−
∫
x
0
x
1
P
(
x
,
y
1
)
d
x
−
∫
y
0
y
1
Q
(
x
0
,
y
)
d
y
\oint_L{Pdx+Qdy}=\int_{x_0}^{x_1}{P\left( x,y_0 \right)dx}+\int_{y_0}^{y_1}{Q\left( x_1,y \right)dy}-\int_{x_0}^{x_1}{P\left( x,y_1 \right)dx}-\int_{y_0}^{y_1}{Q\left( x_0,y \right)dy}
∮LPdx+Qdy=∫x0x1P(x,y0)dx+∫y0y1Q(x1,y)dy−∫x0x1P(x,y1)dx−∫y0y1Q(x0,y)dy
将积分限相同的进行合并
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
x
0
x
1
[
P
(
x
,
y
0
)
−
P
(
x
,
y
1
)
]
d
x
+
∫
y
0
y
1
[
Q
(
x
1
,
y
)
−
Q
(
x
0
,
y
)
]
d
y
\oint_L{Pdx+Qdy}=\int_{x_0}^{x_1}{\left[ P\left( x,y_0 \right) -P\left( x,y_1 \right) \right]dx}+\int_{y_0}^{y_1}{\left[ Q\left( x_1,y \right) -Q\left( x_0,y \right) \right]dy}
∮LPdx+Qdy=∫x0x1[P(x,y0)−P(x,y1)]dx+∫y0y1[Q(x1,y)−Q(x0,y)]dy
被积函数里面的减法我们可以写成定积分的形式
P
(
x
,
y
0
)
−
P
(
x
,
y
1
)
=
∫
y
1
y
0
P
y
(
x
,
y
)
d
y
=
−
∫
y
0
y
1
P
y
(
x
,
y
)
d
y
P\left( x,y_0 \right) -P\left( x,y_1 \right) =\int_{y_1}^{y_0}{P_y\left( x,y \right) dy}=-\int_{y_0}^{y_1}{P_y\left( x,y \right) dy}
P(x,y0)−P(x,y1)=∫y1y0Py(x,y)dy=−∫y0y1Py(x,y)dy
Q
(
x
1
,
y
)
−
Q
(
x
0
,
y
)
=
∫
x
0
x
1
Q
x
(
x
,
y
)
d
x
Q\left( x_1,y \right) -Q\left( x_0,y \right) =\int_{x_0}^{x_1}{Q_x\left( x,y \right) dx}
Q(x1,y)−Q(x0,y)=∫x0x1Qx(x,y)dx
于是就可以写成二重积分的形式
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
−
∫
x
0
x
1
d
x
∫
y
0
y
1
P
y
(
x
,
y
)
d
y
+
∫
y
0
y
1
d
y
∫
x
0
x
1
Q
x
(
x
,
y
)
d
x
\oint_L{Pdx+Qdy}=-\int_{x_0}^{x_1}{dx}\int_{y_0}^{y_1}{P_y\left( x,y \right) dy}+\int_{y_0}^{y_1}{dy}\int_{x_0}^{x_1}{Q_x\left( x,y \right) dx}
∮LPdx+Qdy=−∫x0x1dx∫y0y1Py(x,y)dy+∫y0y1dy∫x0x1Qx(x,y)dx
由于我们的区域为矩形，所以交换积分次序很容易
−
∫
x
0
x
1
d
x
∫
y
0
y
1
P
y
(
x
,
y
)
d
y
+
∫
y
0
y
1
d
y
∫
x
0
x
1
Q
x
(
x
,
y
)
d
x
=
∬
D
[
Q
x
(
x
,
y
)
−
P
y
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
-\int_{x_0}^{x_1}{dx}\int_{y_0}^{y_1}{P_y\left( x,y \right) dy}+\int_{y_0}^{y_1}{dy}\int_{x_0}^{x_1}{Q_x\left( x,y \right) dx}=\iint\limits_D{\left[ Q_x\left( x,y \right) -P_y\left( x,y \right) \right] dxdy}
−∫x0x1dx∫y0y1Py(x,y)dy+∫y0y1dy∫x0x1Qx(x,y)dx=D∬[Qx(x,y)−Py(x,y)]dxdy
至此我们就可以得到格林公式的形式
如果题目给的顺时针，那就顺时针的做一遍，最后结果会是
∬
D
[
P
y
(
x
,
y
)
−
Q
x
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
\iint\limits_D{\left[ P_y\left( x,y \right) -Q_x\left( x,y \right) \right] dxdy}
D∬[Py(x,y)−Qx(x,y)]dxdy文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-451169.html
其实我们也可以将区域分割成一个个小矩形（同济书上是分别将区域横着切和竖着切来证明的），这样就可以推导出任意曲线的格林公式了，感兴趣的同学可以参考这篇文章
kaysen学长：格林公式史上最通俗最透彻讲解
将区域切成一个个小矩形，对每个矩形拿出来进行线积分到二重积分的转换
由于相邻的矩形线积分会互相抵消，所以将小矩形的线积分加起来就是外围曲线的线积分，小矩形的二重积分加起来就是整个区域的二重积分
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-451169.html
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