数学建模之稳定性模型详解

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数学建模之稳定性模型详解。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

码字总结不易,老铁们来个三连:点赞、关注、评论
作者:[左手の明天]
 原创不易,转载请联系作者并注明出处
版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。

对象仍是动态过程,而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。

不求解微分方程,而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。

目录

捕鱼业的持续收获

产量模型

假设

建模

一阶微分方程的平衡点及其稳定性

效益模型

捕捞过度

捕鱼业的持续收获

matlab验证

军备竞赛

目的

假设

建模

 线性常系数微分方程组

模型的定性解释

种群的相互竞争

模型假设

模型建立 

模型分析​

 线性常系数微分方程组

判断稳定性的方法——直接法 

 平衡点稳定性分析

种群竞争模型的平衡点及稳定性

平衡点稳定性的相轨线分析

matlab验证

种群的相互依存

模型假设

模型建立

种群依存模型的平衡点及稳定性 

平衡点P2稳定性的相轨线

matlab验证

食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食)

食饵-捕食者模型(Volterra)

Volterra模型的平衡点及其稳定性

MATLAB求微分方程数值解

用相轨线分析P(d/b, r/a)点稳定性 

 模型解释

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进

matlab验证

两种群模型的几种形式 

差分形式的阻滞增长模型 

模型分析

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论

混沌现象

matlab验证


捕鱼业的持续收获

背景

  • 再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等)
  • 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益

问题及分析

  • 捕捞量稳定的条件下,如何控制捕捞使产量最大或效益最佳?
  • 如果使捕捞量等于自然增长量,渔场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定

产量模型

x(t) ~ 渔场鱼量

假设

  • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律.

数学建模之稳定性模型详解

r~固有增长率, N~最大鱼量

  • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.

数学建模之稳定性模型详解

建模

数学建模之稳定性模型详解

 有捕捞情况下渔场鱼量满足

数学建模之稳定性模型详解

 不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.

一阶微分方程的平衡点及其稳定性

数学建模之稳定性模型详解一阶非线性自治(右端不含t)方程

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 设x(t)是方程的解,若从x0 某邻域的任一初值出发,都有数学建模之稳定性模型详解称x0是方程(1)的稳定平衡点.

直接法

数学建模之稳定性模型详解 (1)的近似线性方程

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

图解法

在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使产量最大.

数学建模之稳定性模型详解

效益模型

在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使效益最大.

数学建模之稳定性模型详解

捕捞过度

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

捕鱼业的持续收获

在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.

用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.

matlab验证

捕鱼业的持续收获 ——产量模型

产量模型:

数学建模之稳定性模型详解

 其中,

  • x(t)为t时刻渔场中的鱼量。
  • r是固有增长率。
  • N是环境容许的最大鱼量。
  • E是捕捞强度,即单位时间捕捞率。
clear; clc;
%无捕捞条件下单位时间的增长量:f(x)=rx(1-x/N)
%捕捞条件下单位时间的捕捞量:h(x)=Ex
%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex
%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程:x'(t)=F(x)
%满足F(x)=0的点x为方程的平衡点
%求方程的平衡点

syms r x N E; %定义符号变量
Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式
x=solve(Fx,x) %求解F(x)=0(求根)

%得到两个平衡点,记为:
% x0= -N*(-r+E)/r  , x1= 0 

x0=x(2);
x1=x(1);%符号变量x的结构类型成为<2×1sym>

%求F(x)的微分F'(x)

syms x; %定义符号变量x的结构类型为<1×1sym>
dF=diff(Fx,'x'); %求导
dF=simple(dF) %简化符号表达式

%得 F'(x)= r-2*r*x/N-E 
%求F'(x0)并简化

dFx0=subs(dF,x,x0); %将x=x0代入符号表达式dF
dFx0=simple(dFx0) 

%得 F' (x0)= -r+E 
%求F' (x1)

dFx1=subs(dF,x,x1)

%得 F' (x1)= r-E 
%若 E<r,有F'(x0)<0,F'(x1)>0,故x0点稳定,x1点不稳定(根据平衡点稳定性的准则);
%若 E>r,则结果正好相反。
%在渔场鱼量稳定在x0的前提下(E<r),求E使持续产量h(x0)达到最大hm。
%通过分析(见教材p216图1),只需求x0*使f(x)达到最大,且hm=f(x0*)。

syms r x N
fx=r*x*(1-x/N); %fx=dF
df=diff(fx,'x');
x0=solve(df,x)

%得 x0*= 1/2*N 

hm=subs(fx,x,x0)

%得 hm= 1/4*r*N 
%又由 x0*=N(1-E/r),可得 E*= r/2 
%产量模型的结论是:
%将捕捞率控制在固有增长率的一半(E=r/2)时,能够获得最大的持续产量。

军备竞赛

目的

  • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.
  • 解释(预测)双方军备竞赛的结局.

假设

  • 1)由于相互不信任,一方军备越大,另一 方军备增加越快;
  • 2)由于经济实力限制,一方军备越大,对自己军备增长的制约越大;
  • 3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存在增加军备的潜力.

进一步假设

1)2)的作用为线性;3)的作用为常数.

建模

数学建模之稳定性模型详解

 线性常系数微分方程组

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

模型的定性解释

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解


种群的相互竞争

一个自然环境中有两个种群生存,它们之间的关系:相互竞争;相互依存;弱肉强食

当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时,常见的结局是,竞争力弱的灭绝,竞争力强的达到环境容许的最大容量。

建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程,分析产生这种结局的条件。

模型假设

数学建模之稳定性模型详解

模型建立 

数学建模之稳定性模型详解

模型分析

 线性常系数微分方程组

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

判断稳定性的方法——直接法 

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 平衡点稳定性分析

数学建模之稳定性模型详解

种群竞争模型的平衡点及稳定性

数学建模之稳定性模型详解

平衡点稳定性的相轨线分析

数学建模之稳定性模型详解数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

matlab验证

模型:

数学建模之稳定性模型详解 

其中,

  • x1(t), x2(t)分别是甲乙两个种群的数量。
  • r1, r2是它们的固有增长率。
  • N1, N2是它们的最大容量。
  • σ1:单位数量乙(相对N2)消耗的供养甲的食物量为单位数量甲(相对N1)消耗的供养甲的食物量的σ1倍。对σ2可作相应解释。
clear; clc;
%甲乙两个种群满足的增长方程:
% x1'(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)
% x2'(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)
%求方程的平衡点,即解代数方程组)
%  f(x1,x2)=0
%  g(x1,x2)=0

%编写出该程序段。
syms x1 x2 r1 r2 N1 N2 k1 k2;
f=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2);
g=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2);
[x1,x2]=solve(f,g,x1,x2);
P=[x1([2,3,4,1]),x2([2,3,4,1])];

x1x2=[x1,x2]  %显示结果
disp(' '); P
%调整位置后的4个平衡点:
% P(1,:)=P1(N1,0)
% P(2,:)=P2(0,N2)
% P(3,:)=P3(N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1),N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1))
% P(4,:)=P4(0,0)
%平衡点位于第一象限才有意义,故要求P3:k1, k2同小于1,或同大于1。
%判断平衡点的稳定性
syms x1 x2; %重新定义
fx1=diff(f,'x1');  fx2=diff(f,'x2');
gx1=diff(g,'x1');  gx2=diff(g,'x2');
disp(' '); A=[fx1,fx2;gx1,gx2] %显示结果
p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); %替换
p=simple(p);%简化符号表达式p 
q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
q=simple(q);
disp(' '); [P p q] %显示结果

数学建模之稳定性模型详解


种群的相互依存

自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生.

  • 受粉的植物与授粉的昆虫.

以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存,而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率.

  • 人类与人工饲养的牲畜.

种群甲可以独自生存,种群乙不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.

甲乙两种群的相互依存有三种形式

  • 1) 甲可以独自生存,乙不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
  • 2) 甲乙均可以独自生存;甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
  • 3) 甲乙均不能独自生存;甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。

模型假设

  • 甲可以独自生存,数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。
  • 乙不能独自生存;甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长;乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。

模型建立

数学建模之稳定性模型详解

种群依存模型的平衡点及稳定性 

数学建模之稳定性模型详解

平衡点P2稳定性的相轨线

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

matlab验证

模型:

数学建模之稳定性模型详解

 其中,

  • x1(t), x2(t)分别是甲乙两个种群的数量。
  • r1, r2是它们的固有增长率。
  • N1, N2是它们的最大容量。
  • σ1:单位数量乙(相对N2)提供的供养甲的食物量为单位数量甲(相对N1)消耗的供养甲的食物量的σ1倍。对σ2可作相应解释。
clear; clc;
syms x1 x2 r1 r2 N1 N2 k1 k2;
f=r1*x1*(1-x1/N1+k1*x2/N2);
g=r2*x2*(-1+k2*x1/N1-x2/N2);
[x1,x2]=solve(f,g);
P=[x1([2,4,1,3]),x2([2,4,1,3])];

syms x1 x2; %重新定义
fx1=diff(f,'x1');  fx2=diff(f,'x2');
gx1=diff(g,'x1');  gx2=diff(g,'x2');
A=[fx1,fx2;gx1,gx2];
p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)}); %替换
p=simple(p);%简化符号表达式p 
q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
q=simple(q);
[P p q] %显示结果

数学建模之稳定性模型详解


食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食)

种群甲靠丰富的天然资源生存,种群乙靠   捕食甲为生,形成食饵-捕食者系统,如   食用鱼和鲨鱼,美洲兔和山猫,害虫和益虫.

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海   渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞),   但是其中鲨鱼的比例却增加,为什么?

食饵-捕食者模型(Volterra)

数学建模之稳定性模型详解

Volterra模型的平衡点及其稳定性

数学建模之稳定性模型详解

MATLAB求微分方程数值解

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

用相轨线分析P(d/b, r/a)点稳定性 

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 模型解释

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

matlab验证

函数M文件

function xdot=shier(t,x)
r=1; d=0.5; a=0.1 ; b=0.02 ;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1); (-d+b*x(1)).*x(2)];

命令M文件:

ts=0 :0.1 :15;
x0=[25, 2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0); [t,x],
plot(t,x), grid, gtext('x(t)'), gtext('y(t)'), %运行中在图上标注
pause, 
plot(x(:,1),x(:,2)), grid, 

x(t), y(t)图形

数学建模之稳定性模型详解

 相轨线y(x)图形:

数学建模之稳定性模型详解


两种群模型的几种形式 

数学建模之稳定性模型详解

差分形式的阻滞增长模型 

模型分析

数学建模之稳定性模型详解

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解 数学建模之稳定性模型详解

混沌现象

 数学建模之稳定性模型详解

 数学建模之稳定性模型详解

matlab验证

x0=0.2,分别取b = 1.7, 2.6, 3.3, 3.45, 3.55, 3.57,对方程

数学建模之稳定性模型详解

 计算出x1 ~ x100的值,显示x81 ~ x100的值。观察收敛与否。

clc; clear all; format compact;
b=[1.7,2.6,3.3,3.45,3.55,3.57];
x=zeros(100,length(b));
x0=0.2; %初值
x(1,:)=b*x0*(1-x0);
for k=1:99
    x(k+1,:)=b.*x(k,:).*(1-x(k,:));
end
K=(81:100)’; %将取81~100行
disp(num2str([NaN,b; K,x(K,:)],4));%取4位有效数字,NaN表示不是数值

数学建模之稳定性模型详解

 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-451479.html

clear; clc; close all;
f=@(x,b)b.*x.*(1-x); %定义f是函数的句柄,函数b*x*(1-x)含两个变量x,b
b=[1.7,2.6,3.3,3.45,3.55,3.57];
x=ones(101,length(b));
x(1,:)=0.2;
for k=1:100
    x(k+1,:)=f(x(k,:),b);
end
for n=1:length(b)
    figure(n);%指定图形窗口figure n
    subplot(1,2,1);%开始迭代的图形
    fplot(@(x)[f(x,b(n)),x],[0 1 0 1]);%x是自变量,画曲线y=bx(1-x)和直线y=x
    axis square; hold on;
    x0=x(1,n); y0=0; %画迭代轨迹线
    for k=2:5
        x1=x(k,n); y1=x(k,n);
        plot([x0+i*y0, x0+i*y1, x1+i*y1], 'r');%实部为横坐标,虚部为纵坐标
        x0=x1; y0=y1;
    end
    title(['图解法:开始迭代的图形(b=' num2str(b(n)) ')']);
    hold off;
 
    subplot(1,2,2); %最后迭代的图形
    fplot(@(x)[f(x,b(n)),x],[0 1 0 1]);
    axis square; hold on;
    xy(1:2:41)=x(81:101,n)+i*x(81:101,n);%尽量不用循环
    xy(2:2:40)=x(81:100,n)+i*x(82:101,n);
    plot(xy,'r');
    title(['图解法:最后迭代的图形(b=' num2str(b(n)) ')']);
    hold off;
end

运行程序并给出结果(对应不同的b值)

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

数学建模之稳定性模型详解

 

到了这里,关于数学建模之稳定性模型详解的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 数学建模-模型详解(2)

    当谈到微分模型时,通常指的是使用微分方程来描述某个系统的动态行为。微分方程是描述变量之间变化率的数学方程。微分模型可以用于解决各种实际问题,例如物理学、工程学、生物学等领域。 微分模型可以分为两类:常微分方程和偏微分方程。常微分方程描述的是只有

    2024年02月11日
    浏览(35)
  • 数学建模-模型详解(1)

    当涉及到线性规划模型实例时,以下是一个简单的示例: 假设我们有两个变量 x 和 y,并且我们希望最大化目标函数 Z = 5x + 3y,同时满足以下约束条件: x = 0 y = 0 2x + y = 10 x + 2y = 8 这是一个典型的线性规划问题,我们可以使用线性规划算法来求解最优解。 非线性规划(Nonli

    2024年02月11日
    浏览(37)
  • 数学建模之概率模型详解

    码字总结不易,老铁们来个三连: 点赞、关注、评论 作者:[左手の明天]   原创不易,转载请联系作者并注明出处 版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。 现实世界的变化受着众多因素的影响,包括确定的和随机的。

    2024年02月01日
    浏览(32)
  • 数学建模之“TOPSIS数学模型”原理和代码详解

    TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)是一种多准则决策分析方法, 用于解决多个候选方案之间的排序和选择问题 。它基于一种数学模型, 通过比较每个候选方案与理想解和负理想解之间的相似性来评估其优劣。 TOPSIS方法包括以下步骤: 确定决策准则:

    2024年02月12日
    浏览(40)
  • 【稳定性】稳定性建设之弹性设计

    随着业务的快速变化和技术的不断发展,系统面临着诸多挑战,例如流量峰值、依赖服务故障、硬件故障、网络中断、软件缺陷等,这些因素都可能影响到系统的正常运行。在这种背景下,弹性设计(Resilience Design)应运而生。弹性设计是一种系统的设计和构建方法, 系统的

    2024年02月08日
    浏览(44)
  • 数学建模之统计回归模型详解

    码字总结不易,老铁们来个三连: 点赞、关注、评论 作者:[左手の明天]   原创不易,转载请联系作者并注明出处 版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。 由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分

    2024年02月09日
    浏览(48)
  • 数学建模——确定性时间序列分析方法

    目录 介绍 确定性时间序列分析方法 1、时间序列的常见趋势 (1)长期趋势 (2)季节变动 (3)循环变动 (4)不规则变动 常见的时间序列模型有以下几类 2、时间序列预测的具体方法 2.1 移动平均法 案例1 【符号说明】  【预测模型】 2.2 一次指数平滑预测法 (1)预测模型

    2024年02月05日
    浏览(55)
  • 【不带权重的TOPSIS模型详解】——数学建模

    部分资料取自于b站:数学建模学习交流清风老师 TOPSIS法可翻译为 逼近理想解排序法 ,国内常简称为 优劣解距离法 它是一种常用的综合评价方法,其能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间地差异。 举个例子: 数学成绩越高代表学习能力越强。跑

    2024年02月12日
    浏览(46)
  • 稳定性建设框架

    一、为什么要做稳定性建设 1、从熵增定律引出稳定性建设的必要性 物理学上,用“熵”来描述一个体系的混乱程度。卡尔·弗里德曼提出熵增定律,他认为在一个封闭的系统内,如果没有外力的作用,一切物质都会从有序状态向无序状态发展。 如果我们不希望系统变混乱,

    2024年02月08日
    浏览(43)
  • 3分钟了解Android中稳定性测试_手机稳定性测试,大厂软件测试高级多套面试专题整理集合

    先自我介绍一下,小编浙江大学毕业,去过华为、字节跳动等大厂,目前阿里P7 深知大多数程序员,想要提升技能,往往是自己摸索成长,但自己不成体系的自学效果低效又漫长,而且极易碰到天花板技术停滞不前! 因此收集整理了一份《2024年最新软件测试全套学习资料》

    2024年04月26日
    浏览(45)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包