【分布族谱】正态分布和二项分布的关系-Toy模板网

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正态分布

正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定其地位的，应是高斯对测量误差的研究，故而又称Gauss分布。测量是人类定量认识自然界的基础，测量误差的普遍性，使得正态分布拥有广泛的应用场景，或许正因如此，正太分布在分布族谱图中居于核心的位置。

正态分布 $N(\mu, \sigma)$ 受到期望 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的调控，其概率密度函数为

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]$

当 $\mu=0$ 而 $\sigma=1$ 时，为标准正态分布 $N (0, 1)$ ，对应概率分布函数为 $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{x^2}{2}]$ ，形状如下，

【分布族谱】正态分布和二项分布的关系

在scipy.stats中，分别封装了正态分布类norm和标准正态分布类halfnorm。

二项分布

二项分布是非常简单而又基础的一种离散分布，貌似是高中学到的第一个分布，就算不是第一个，也是第一批。在 $N$ 次独立重复的伯努利试验中，设A在每次实验中发生的概率均为 $p$ 。则 $N$ 次试验后A发生 $k$ 次的概率分布，就是二项分布，记作 $X\sim B(n,p)$ ，则

$P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

其中 $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ，高中的写法一般是 $C^k_n$ 。

记 $q = 1 - p$ ，令 $x_k=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ ，当 $n$ 趋近于无穷大时，根据De Moivre–Laplace定理，有

$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{\frac{(k-np)^2}{2npq}}$

即服从 $\sigma^2=npq, \mu=np$ 的高斯分布。

验证

下面通过scipy.stats对二项分布和高斯分布之间的关联进行验证

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as ss

p,q = 0.2, 0.8
ns = [10, 100, 1000, 10000]

fig = plt.figure()
for i,n in enumerate(ns):
    rs = ss.binom(n, p).rvs(50000)
    rv = ss.norm(n*p, np.sqrt(n*p*q))
    st, ed = rv.interval(0.999)
    xs = np.linspace(st, ed, 100)
    ys = rv.pdf(xs)
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+1)
    ax.hist(rs, density=True, bins='auto', alpha=0.2)
    ax.plot(xs, ys)
    plt.title(f"n={n}")

plt.show()