特征值的定义是
A
p
=
λ
p
Ap=\lambda p
Ap=λp，把这个定义扩展下，成为
A
p
=
λ
B
p
Ap=\lambda Bp
Ap=λBp，这个时候
λ
\lambda
λ就是
A
A
A关于
B
B
B的广义特征值generalized eigenvalue。从广义特征值的定义来说，特征值其实是
A
A
A关于
E
E
E的广义特征值。广义特征值的计算是将特征值的计算方法稍微变一下,如下：
A
x
=
λ
B
x
(
A
−
λ
B
)
x
=
0
∣
A
−
λ
B
∣
=
0
A\bold x=\lambda B \bold x\\ (A-\lambda B )x=0\\ |A-\lambda B |=0
Ax=λBx(A−λB)x=0∣A−λB∣=0
广义特征值的求解，研究的人比较少，所以就没有那么多算法要学，但是广义特征值特别有意思。
A
A
A关于
B
B
B的所有特征值的集合叫做
A
A
A关于
B
B
B的谱spectrum，符号为
σ
(
A
;
B
)
\sigma(A;B)
σ(A;B).
B非奇异
如果
B
B
B非奇异，那么
A
A
A关于
B
B
B的谱非常好求解，因为可以这样计算：
A
x
=
λ
B
x
B
−
1
A
x
=
B
−
1
λ
B
x
=
λ
x
B
−
1
A
x
=
λ
x
A\bold x=\lambda B \bold x\\ B^{-1}A\bold x=B^{-1}\lambda B \bold x=\lambda \bold x\\ \\B^{-1}A\bold x=\lambda \bold x
Ax=λBxB−1Ax=B−1λBx=λxB−1Ax=λx
这就变成了一个特征值问题了.
A非奇异
如果
A
A
A非奇异，那么也可以利用逆矩阵求，这样计算：
A
x
=
λ
B
x
A
−
1
A
x
=
A
−
1
λ
B
x
1
λ
A
−
1
A
x
=
1
λ
A
−
1
λ
B
x
=
A
−
1
B
x
1
λ
x
=
A
−
1
B
x
A\bold x=\lambda B \bold x\\ A^{-1}A\bold x=A^{-1}\lambda B \bold x\\ \frac1\lambda A^{-1}A\bold x=\frac1\lambda A^{-1}\lambda B \bold x=A^{-1}B \bold x\\ \frac1\lambda x=A^{-1}B \bold x\\
Ax=λBxA−1Ax=A−1λBxλ1A−1Ax=λ1A−1λBx=A−1Bxλ1x=A−1Bx
把
A
−
1
B
A^{-1}B
A−1B的特征值全部求出来，然后求出倒数就完事了。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-453436.html
AB都奇异且相等
这种情况，广义特征值非常难求解。而且会出现很多有意思的情况。因为
A
A
A奇异，所以A有个为0的特征值，用0这个特征值去计算
A
A
A相对自己的广义特征值，非常有意思，可以来看看,假设
u
\bold u
u是关于特征值0的特征向量：
A
u
=
0
λ
A
u
=
0
A
u
=
λ
A
u
,
λ
∈
C
A\bold u=\bold 0\\ \lambda A\bold u = 0\\ A\bold u=\lambda A\bold u, \lambda \in \mathbb{C}
Au=0λAu=0Au=λAu,λ∈C
这个时候特征值竟然是任意复数！所以这个时候的谱是整个复数域。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-453436.html
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