一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

10月前作者：Cot287 分类：Toy博客阅读(36) 违法举报

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way1

圆柱体体积可以看成图中红色长方形沿y轴旋转

way2

将空心柱壳切开后，得到一个长方体，长为，宽为dy，（注意这里切开来以后当然不是一个严格的长方体，二是一上让边长为 $一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)$ ，下边为的一个柱体，但是dy较小我们可以忽略不计）

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way3

双重积分先对x积分（因为这样相当于常数）实际上积分得到的结果就是上述的空心柱壳

当然如果先对y积分那么得到的就是圆盘

注意这里的表示的就是下图的那个空心柱壳

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way4

和方法3相似，只不过体积微元是通过小方块沿y轴旋转得到，这里不再赘述

way5

方法5实际上就是方法4的极坐标表示

体积微元为如图面积绕y轴旋转

那么可以得到一个空心柱壳（不是很严谨，但大概就是轮胎的样子）

将其切开后，底面积为,高为(横坐标，这里用了近似)

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way7（三重积分）

先1后2（先求1次积分，再求二重）

下面说的方法7，实际上是我把方法6省略了，因为和5没什么区别

7.1可以将二重积分看作，根据几何含义可以知道这个积分表示的是上半球的体积（当然这里球的体积应该算是未知的，这里只是想要熟悉一下二重积分的几何定义）

7.2 的极坐标表示为(这里有根号，且是球，所以想到极坐标)

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way8

先2后1（先求二重，再求一重积分）

注意下面二重积分实际上就是红色圆的面积也就是

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way9

球体积的体积微元为

一个单位球体积理清二三重积分计算与体积的求解方法(含旋转体体积)

way10

这里将的二次项，三次想都忽略

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