（1）定义
动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路
过渡过程
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。
过渡过程产生的原因
W
c
=
1
2
C
u
2
W
L
=
1
2
L
i
2
W_c = \frac{1}{2}Cu^2 \\ W_L = \frac{1}{2}Li^2
Wc=21Cu2WL=21Li2
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容、电感的电路存在过渡过程。
1. 电路变量初始值的计算
1.1 换路定理
换路：
电路状态的改变
（1）电路的初始值
1.
t
=
0
+
,
t
=
0
−
t=0^+,t=0^-
t=0+,t=0−的概念
认为换路在 t=0时刻进行，
0
−
0^-
0− 换路前一瞬间。
0
+
0^+
0+换路后一瞬间
初始条件
换路后的起始瞬间即
t
=
0
+
t=0^+
t=0+时刻，各处响应u ，i 的值，用
y
(
0
+
)
y(0^+)
y(0+)表示
（2）电容的初始条件
结论
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变
证明
u
c
(
t
)
=
1
C
∫
−
∞
t
i
(
t
)
d
t
=
u
c
(
0
−
)
+
1
C
∫
0
−
t
i
(
t
)
d
t
i
f
(
t
=
=
0
)
:
u
c
(
0
+
)
=
u
c
(
0
−
)
u_c(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(t)dt=u_c(0^-)+\frac{1}{C}\int_{0^-}^{t}i(t)dt \\ if (t == 0): \\ u_c(0^+) = u_c(0^-)
uc(t)=C1∫−∞ti(t)dt=uc(0−)+C1∫0−ti(t)dtif(t==0):uc(0+)=uc(0−)
（3）电感的初始条件
结论
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变
证明
i
L
(
t
)
=
1
L
∫
−
∞
t
u
(
t
)
d
t
=
i
L
(
0
−
)
+
1
C
∫
0
−
t
u
(
t
)
d
t
i
f
(
t
=
=
0
)
:
i
L
(
0
+
)
=
i
L
(
0
−
)
i_L(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}u(t)dt=i_L(0^-)+\frac{1}{C}\int_{0^-}^{t}u(t)dt \\ if (t == 0): \\ i_L(0^+) = i_L(0^-)
iL(t)=L1∫−∞tu(t)dt=iL(0−)+C1∫0−tu(t)dtif(t==0):iL(0+)=iL(0−)
【题目】电路初始值的确定
求初始值的步骤：
① 求换路前稳定状态下的
u
c
(
0
−
)
u_c(0^-)
uc(0−)或
i
l
(
0
−
)
i_l(0_-)
il(0−)
② 由换路定理得到
u
c
(
0
+
)
u_c(0^+)
uc(0+)或
i
l
(
0
+
)
i_l(0_+)
il(0+)
③ 画
0
+
0+
0+等效电路：电容用电压源代替，电感用电流源代替。
④ 由
0
+
0^+
0+电路求其他值
注意：电路的其他值需要根据
0
+
0^+
0+时刻的等效电路图求解。
电容初始条件
电感初始条件
电感电容综合
2. 一阶电路
定义
电路发生换路后，根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（仅含一个储能元件）
2.1 一阶零输入响应
定义
换路后，若外施激励为零，仅由储能元件初始值
u
C
(
0
+
)
,
i
L
(
0
+
)
u_{C(0^+)}, i_{L(0^+)}
uC(0+),iL(0+)所激发的响应
| 零输入响应 | RC | RL |
|---|---|---|
| 时间常数 | CR | L R \frac{L}{R} RL |
| 能量 | 1 2 C U 2 \frac{1}{2}CU^2 21CU2 | 1 2 L I 2 \frac{1}{2}LI^2 21LI2 |
| 响应公式 | y ( t ) = y ( 0 + ) e − t τ y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}} y(t)=y(0+)e−τt | y ( t ) = y ( 0 + ) e − t τ y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}} y(t)=y(0+)e−τt |
2.1.1 一阶RC电路的零输入响应
响应公式
y
(
t
)
=
y
(
0
+
)
e
−
t
τ
τ
=
C
R
0
y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}} \\ \tau=CR_0
y(t)=y(0+)e−τtτ=CR0
物理含义
电压初值一定：C越大（R一定）储能大、R越大（C一定）放电电流小，放电时间越长。
能量关系
电容不断释放能量直到被电阻吸收，直到全部消耗完毕。
① 电容放出的能量：
1
2
C
U
2
\frac{1}{2}CU^2
21CU2
② 电阻吸收的能量：
1
2
C
U
2
\frac{1}{2}CU^2
21CU2
题目：计算RC电路的零输入响应（定义法）
步骤
① 求电路的初始值（
0
+
0^+
0+）
② 求时间常数
τ
=
R
0
C
\tau=R_0C
τ=R0C
③ 带入零输入响应方程求解
2.1.2 一阶RL电路的零输入响应
响应公式
y
(
t
)
=
y
(
0
+
)
e
−
t
τ
τ
=
L
R
y(t)=y(0^+)e^{-\frac{t}{\tau}} \\ \tau=\frac{L}{R}
y(t)=y(0+)e−τtτ=RL
物理含义
电流初值一定：L越大（R一定）储能大、R越小（L一定），放电时间越长。
能量关系
电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕
① 电容释放的能量：
1
2
L
I
2
\frac{1}{2}LI^2
21LI2
② 电阻吸收的能量：
1
2
L
I
2
\frac{1}{2}LI^2
21LI2
2.2 一阶零状态响应
换路后，储能元件初始值 u C ( 0 + ) , i L ( 0 + ) u_{C(0^+)}, i_{L(0^+)} uC(0+),iL(0+)为0，仅由外施激励所激发的响应。
| 零状态响应 | RC | RL |
|---|---|---|
| 时间常数 | CR | L R \frac{L}{R} RL |
| 能量 | 1 2 C U 2 \frac{1}{2}CU^2 21CU2 | 1 2 L I 2 \frac{1}{2}LI^2 21LI2 |
| 响应公式 | y ( t ) = y ( 0 + ) ( 1 − e − t τ ) y(t)=y(0^+)(1-e^{-\frac{t}{\tau})} y(t)=y(0+)(1−e−τt) | y ( t ) = y ( 0 + ) ( 1 − e − t τ ) y(t)=y(0^+)(1-e^{-\frac{t}{\tau})} y(t)=y(0+)(1−e−τt) |
2.2.1 一阶RC零状态响应
初始储能为0，相当于电容充电的过程。
响应公式
y
(
t
)
=
y
(
t
+
)
(
1
−
e
−
t
τ
)
,
t
>
0
+
τ
=
C
R
0
y(t)=y(t^+)(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) , \ t>0^+\\ \tau = CR_0
y(t)=y(t+)(1−e−τt), t>0+τ=CR0
物理含义
① 电压越来越大，电流越来越小.
②
τ
\tau
τ越大，充电越慢。
t
a
u
tau
tau越小，充电越快。
（与放电的速度相同，可以理解为储能更多，时间更长）
能量关系
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
① 电容储存：
1
2
C
U
2
\frac{1}{2}CU^2
21CU2
② 电源提供能量：
C
U
2
CU^2
CU2
③ 电阻消耗：
1
2
C
U
2
\frac{1}{2}CU^2
21CU2
题目：求RC电路零状态响应（定义法）
步骤
① 求电路的初始值（
0
+
0^+
0+）
② 求时间常数
τ
=
R
0
C
\tau=R_0C
τ=R0C
③ 带入零输入响应方程求解
2.2.2 一阶RL零状态响应
初始储能为0，相当于电感充电的过程。
响应公式
y
(
t
)
=
y
(
t
+
)
(
1
−
e
−
t
τ
)
,
t
>
0
+
τ
=
L
R
0
y(t)=y(t^+)(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) , \ t>0^+\\ \tau = \frac{L}{R_0}
y(t)=y(t+)(1−e−τt), t>0+τ=R0L
物理含义
① 电流越来越大，电压越来越小.
②
τ
\tau
τ越大，充电越慢。
t
a
u
tau
tau越小，充电越快。
能量关系
电感不断吸收电源的能量。电源的能量一半消耗在了电阻上，一般存储在电感中。
① 电感储存：
1
2
L
I
2
\frac{1}{2}LI^2
21LI2
② 电源提供能量：
L
I
2
LI^2
LI2
③ 电阻消耗：
1
2
L
I
2
\frac{1}{2}LI^2
21LI2
2.3 一阶电路的完全响应
当电路的初始储能不为零，且有独立源激励时，两者共同作用产生的响应。
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
3. 三要素法分析一阶电路
三要素
① 初始值
y
(
0
+
)
y(0^+)
y(0+)： 根据
0
−
0^-
0−时刻的等效电路、
0
+
0^+
0+时刻等效电路求解（旧稳态，电容开路电感短路。
0
+
0^+
0+时刻，电容电压源，电感电流源）
② 稳态值
y
(
∞
)
y(\infty)
y(∞)：根据
∞
\infty
∞时刻的等效电路求解（新稳态，电容开路电感短路）
③ 时间常数
τ
\tau
τ：根据动态原件两端电压求解
三要素公式
y
(
t
)
=
y
(
∞
)
+
[
y
(
0
+
)
−
y
(
∞
)
]
e
−
t
τ
y(t)=y(\infty)+[y(0^+)-y(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}
y(t)=y(∞)+[y(0+)−y(∞)]e−τt
三要素法分析步骤
① 求初始值
y
(
0
+
)
y(0^+)
y(0+)：旧稳态下的等效电路、
0
+
0^+
0+时刻等效电路
② 求新稳态值
y
(
∞
)
y(\infty)
y(∞)：新稳态下的等效电路
③ 求时间常数
τ
\tau
τ：元件两端电阻大小
【题目】三要素法分析一阶电路
电容
零输入
零状态
全状态
电感
零输入
零状态
第一步：求初始值
i
L
(
0
+
)
,
i
6
(
0
+
)
i_L(0^+),i_6(0^+)
iL(0+),i6(0+)
i
L
(
0
+
)
=
0
A
i
6
(
0
+
)
=
10
2.5
=
4
A
i_L(0^+) = 0 A \\ i_6(0^+) = \frac{10}{2.5} = 4A
iL(0+)=0Ai6(0+)=2.510=4A
第二步：求稳态值
i
L
(
∞
)
,
i
6
(
∞
)
i_L(\infty),i_6(\infty)
iL(∞),i6(∞)
根据KCL定理、欧姆定律可分别求得
i
L
和
i
6
i_L和i_6
iL和i6
i
6
(
∞
)
=
10
(
1
/
/
2
)
+
(
4
/
/
3
)
=
4.2
A
i
L
(
∞
)
=
i
6
(
2
3
−
3
7
)
=
1
A
i_6(\infty) = \frac{10}{(1//2)+(4//3)}=4.2 A\\ i_L(\infty) =i_6(\frac{2}{3}-\frac{3}{7}) = 1 A
i6(∞)=(1//2)+(4//3)10=4.2AiL(∞)=i6(32−73)=1A
第三步：求时间常数
τ
\tau
τ
R
=
(
1
/
/
4
)
+
(
2
/
/
3
)
=
2
Ω
τ
=
5
2
=
2.5
R=(1//4)+(2//3)=2 \Omega \\ \tau = \frac{5}{2} = 2.5
R=(1//4)+(2//3)=2Ωτ=25=2.5
第四步：带入三要素公式
i
L
(
t
)
=
1
−
e
−
0.4
t
A
i
6
(
t
)
=
4.2
−
0.2
e
−
0.4
t
i_L(t) = 1 - e^{-0.4t} A \\ i_6(t) = 4.2 - 0.2 e^{-0.4t}
iL(t)=1−e−0.4tAi6(t)=4.2−0.2e−0.4t
第五步：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-453874.html
全状态
第一步：求初始值
u
L
(
0
+
)
u_L(0^+)
uL(0+)
i
L
(
0
+
)
=
i
L
(
0
−
)
=
3
×
2
3
=
2
A
i_L(0^+) = i_L(0^-)=3 \times \frac{2}{3} = 2 A
iL(0+)=iL(0−)=3×32=2A
u
L
(
0
+
)
+
2
(
R
3
+
R
1
/
/
R
2
)
=
0
→
u
L
(
0
+
)
=
−
4
V
u_L(0^+)+2(R3+R1//R2)=0 \\ \to u_L(0^+) = -4 V
uL(0+)+2(R3+R1//R2)=0→uL(0+)=−4V
第二步：求稳态值
u
L
(
∞
)
u_L(\infty)
uL(∞)
u
L
(
∞
)
=
0
u_L(\infty) = 0
uL(∞)=0
第三步：求时间常数
τ
\tau
τ
R
=
R
3
+
(
R
1
/
/
R
2
)
=
2
Ω
τ
=
L
R
=
0.5
R = R_3+(R_1//R_2)=2 \Omega \\ \tau = \frac{L}{R} = 0.5
R=R3+(R1//R2)=2Ωτ=RL=0.5
第四步：带入三要素方程
u
L
(
t
)
=
u
L
(
∞
)
+
(
u
L
(
0
+
)
−
u
L
(
∞
)
)
e
−
t
τ
u
L
(
t
)
=
−
4
e
−
2
t
V
u_L(t)=u_L(\infty)+(u_L(0^+)-u_L(\infty))e^{-\frac{t}{\tau}} \\ u_L(t) = -4 e^{-2t} V
uL(t)=uL(∞)+(uL(0+)−uL(∞))e−τtuL(t)=−4e−2tV
第五步：画出过度曲线
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-453874.html
到了这里，关于第6章 一阶电路的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
