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1. 小波变换
1.1 小波变换基本概念
信号变换是为了分析时间和频率之间的相互关系。
傅里叶变换（FFT）将信号表示为无限三角函数的叠加，从而将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频谱，但不能反映信号的时频特征，丢失了局部信息。
短时傅里叶变换（STFT）通过引入时间窗获得信号的时频谱图，但窗口尺寸是固定的，不能兼顾频域信息与时域信息，即不能同时对高频和低频进行精确分析。
小波变换以尺度函数（scaling）和小波函数（wavelet function）作为基函数进行信号分解。缩放母小波的宽度获得信号的频域特征，通过平移母小波获得信号的时间信息。
小波函数是定义在有限间隔且均值为0的一种函数。使用有限长的衰减的小波基， 既包含了频率的信息，也包含了时间的信息 。小波函数的尺度对应于频率，控制小波函数的伸缩，平移量对应于时间，控制小波函数的平移。
小波族类的产生只需要满足两个条件：归一化约束和正交化约束。因此小波有很多族类， 每个小波族在小波的紧凑性和平滑性做出了不同的权衡，对应着不同的形状、光滑度和紧密型，应用于不同的场景和状况。
例程 17_1：常用小波族的图像
import pywt
print(pywt.families(short=False))
# 显示的结果
['Haar', 'Daubechies', 'Symlets', 'Coiflets', 'Biorthogonal', 'Reverse biorthogonal',
'Discrete Meyer (FIR Approximation)', 'Gaussian', 'Mexican hat wavelet', 'Morlet wavelet',
'Complex Gaussian wavelets', 'Shannon wavelets', 'Frequency B-Spline wavelets', 'Complex Morlet wavelets']
运行结果：
[‘Haar’, ‘Daubechies’, ‘Symlets’, ‘Coiflets’, ‘Biorthogonal’, ‘Reverse biorthogonal’, ‘Discrete Meyer (FIR Approximation)’, ‘Gaussian’, ‘Mexican hat wavelet’, ‘Morlet wavelet’, ‘Complex Gaussian wavelets’, ‘Shannon wavelets’, ‘Frequency B-Spline wavelets’, ‘Complex Morlet wavelets’]
1.2 连续小波变换
傅里叶变换将信号 f ( t ) f(t) f(t)分解为一系列不同频率的正弦信号的叠加，傅里叶系数对应于不同正弦信号的幅值。小波变换将信号 f ( t ) f(t) f(t)分解为一系列小波信号的叠加，产生一系列小波信号的基本小波可以根据需要来选择或设计。
连续小波变换为：
γ
(
s
,
τ
)
=
∫
f
(
t
)
Ψ
s
,
τ
∗
(
t
)
d
t
\gamma (s,\tau) = \int f(t) \Psi ^* _{s,\tau} (t) dt
γ(s,τ)=∫f(t)Ψs,τ∗(t)dt
连续小波变换的逆变换为：
f
(
t
)
=
∫
∫
γ
(
s
,
τ
)
Ψ
s
,
τ
(
t
)
d
s
d
t
f(t) = \int \int \gamma (s,\tau) \Psi _{s,\tau} (t) dsdt
f(t)=∫∫γ(s,τ)Ψs,τ(t)dsdt
其中，* 表示复共轭，
Ψ
s
,
τ
(
t
)
\Psi _{s,\tau} (t)
Ψs,τ(t)为小波基函数（basic wavelet）。
不同小波基函数，都是由同一个基本小波（母小波）
Ψ
(
t
)
\Psi (t)
Ψ(t) 经过缩放和平移产生。
Ψ
s
,
τ
(
t
)
=
1
s
Ψ
(
t
−
τ
s
)
\Psi _{s,\tau} (t) = \frac{1}{\sqrt {s}} \Psi (\frac {t-\tau}{s})
Ψs,τ(t)=s1Ψ(st−τ)
离散小波变换，通过二进小波变换（缩放因子取为2）把由基本小波生成小波基函数的方法表示为：
Ψ
j
,
k
(
x
)
=
2
j
/
2
∗
Ψ
(
2
j
x
−
k
)
,
k
=
0
,
.
.
.
2
j
−
1
\Psi_{j,k}(x) = 2^{j/2} * \Psi(2^j x-k) , \quad k=0,...2^j-1
Ψj,k(x)=2j/2∗Ψ(2jx−k),k=0,...2j−1
其中j决定缩放系数，k决定平移幅度。
在图像处理中，离散小波变换将图像分解为大小、位置和方向都不同的分量。对图像进行小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，构造出图像金字塔。
小波变换中，缩放因子scale越小，表示小波越窄，对应的信号频率越高，反映的是信号的细节变化；缩放因子越大，表示小波越宽，对应的信号频率越低，反映的是信号的轮廓变化。
1.3 离散小波变换（Discrete wavelet transform, DWT）
双通道子带编码通过两个互补的滤波器组：
- 低通滤波器，得到信号的近似值A，相当于小波伸展，获得当前信号的低频特征，反映轮廓特征；
- 高通滤波器，得到信号的细节值D，相当于小波伸缩，获得当前信号的高频特征，反映细节特征。
实际应用中，信号的低频特征最重要，高频分量只起细化修饰的作用。
小波变换可以表示为由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，继续下去可以进行多级分解。
如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，可以得到信号在不同分辨率下的低频分量。
1.4 二维离散小波变换
图像是典型的二维离散信号。将一维离散小波变换开展到二维函数，就能实现图像的二维离散小波变换。
在二维情况下，每个二维小波都是两个一维小波的积，产生 4 个可分离的尺度函数：
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
x
)
φ
(
y
)
Ψ
H
(
x
,
y
)
=
Ψ
(
x
)
φ
(
y
)
Ψ
V
(
x
,
y
)
=
φ
(
x
)
Ψ
(
y
)
Ψ
D
(
x
,
y
)
=
Ψ
(
x
)
Ψ
(
y
)
\varphi (x,y) = \varphi (x) \varphi (y)\\ \varPsi ^H(x,y) = \varPsi (x) \varphi (y)\\ \varPsi ^V(x,y) = \varphi (x) \varPsi (y) \\ \varPsi ^D(x,y) = \varPsi (x) \varPsi (y)
φ(x,y)=φ(x)φ(y)ΨH(x,y)=Ψ(x)φ(y)ΨV(x,y)=φ(x)Ψ(y)ΨD(x,y)=Ψ(x)Ψ(y)
这些小波度量图像中灰度沿不同方向的变化：
- Ψ H ( x , y ) \varPsi ^H(x,y) ΨH(x,y) 响应列的变化（水平边缘）。
- Ψ V ( x , y ) \varPsi ^V(x,y) ΨV(x,y) 响应行的变化（垂直边缘）。
- Ψ D ( x , y ) \varPsi ^D(x,y) ΨD(x,y) 响应对角线的变化。
例程 17_3：图像的小波变换
import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
if __name__ == '__main__':
# (3) 图像的二维小波变换
img = cv.imread("../images/Fig0515a.tif", flags=0)
img = cv.resize(img, (512, 512)).astype(np.float32)
coeffs = pywt.dwt2(img, 'haar')
cA, (cH, cV, cD) = coeffs # 低频分量，(水平高频，垂直高频，对角线高频)
# 拼接子图
AH = np.concatenate([cA, cH], axis=1)
VD = np.concatenate([cV, cD], axis=1)
dwt1 = np.concatenate([AH, VD], axis=0)
print(img.shape, dwt1.shape)
# 显示为灰度图
plt.imshow(dwt1, 'gray')
plt.title('DWT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
2. Haar 小波变换
2.1 Haar 小波变换的基本概念
Haar 变换又称 Haar 小波变换，由 Alfred Haar于1910年提出，是最早提出的正交小波，也是唯一既具有对称性又是有限支撑的正交小波。
Haar 小波函数是最简单的基函数，是一组分段的常值函数组成的函数集合。这个函数集定义在半开区间[0,1)上，每个分段常值函数的数值在一个小范围为 1 而在其它区域为 0。
Haar小波的母小波（mother wavelet）表示为：
Ψ ( x ) = { 1 , 0 ≤ x < 1 / 2 − 1 , 1 / 2 ≤ x < 1 0 , o t h e r w i s e \Psi(x) = \begin{cases} \begin{aligned} 1 , \quad &0 \le x \lt 1/2\\ -1 , \quad &1/2 \le x \lt 1\\ 0 , \quad & otherwise \end{aligned} \end{cases} Ψ(x)=⎩ ⎨ ⎧1,−1,0,0≤x<1/21/2≤x<1otherwise
对应的尺度函数（scaling function）表示为：
ϕ ( x ) = { 1 , 0 ≤ t < 1 0 , o t h e r w i s e \phi(x) = \begin{cases} \begin{aligned} 1 , \quad &0 \le t \lt 1\\ 0 , \quad & otherwise \end{aligned} \end{cases} ϕ(x)={1,0,0≤t<1otherwise
其滤波器 h[n]定义为：
h [ n ] = { 1 / 2 , n = 0 , 1 0 , o t h e r w i s e h[n] = \begin{cases} \begin{aligned} 1 / \sqrt{2} , \quad & n=0,1\\ 0 , \quad & otherwise \end{aligned} \end{cases} h[n]={1/2,0,n=0,1otherwise
因此，
Ψ ( t / 2 ) = 2 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 1 − n ∗ h [ 1 − n ] ∗ ϕ ( t − n ) = ϕ ( t − 1 ) − ϕ ( t ) \begin{aligned} \Psi (t/2) &= \sqrt{2} \sum _{n=-\infty} ^{\infty} (-1)^{1-n}*h[1-n]*\phi (t-n)\\ &= \phi (t-1) - \phi (t) \end{aligned} Ψ(t/2)=2n=−∞∑∞(−1)1−n∗h[1−n]∗ϕ(t−n)=ϕ(t−1)−ϕ(t)
即：
Ψ i j ( x ) = Ψ ( 2 j ∗ x − i ) , i = 0 , . . . ( 2 j − 1 ) \Psi_i^j(x) = \Psi(2^j*x-i) , i=0,...(2^j-1)\\ Ψij(x)=Ψ(2j∗x−i),i=0,...(2j−1)
Ψ ( x ) = ϕ ( 2 x ) − ϕ ( 2 x − 1 ) \Psi(x) = \phi(2x) - \phi(2x-1) Ψ(x)=ϕ(2x)−ϕ(2x−1)
Haar 基函数可以获取信号的尺度信息，而 Haar 小波函数可以表示信号的细节信息。
Haar 小波具有如下特点：
（1）Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为 [0,1)
（2）Haar 小波属于正交小波。
（3）Haar 小波是对称的。
（4）Haar 小波仅取 +1 和 -1，计算简单。
（5）Haar 小波是不连续小波，在实际的信号分析与处理中受到了限制。
例程 17_4：一维信号的 Haar 小波分解
对一维 Chirp 信号进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。
import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
if __name__ == '__main__':
# (4) Chirp 信号的 Haar 小波分解
x = np.linspace(0, 1, num=2048)
chirp_signal = np.sin(250 * np.pi * x ** 2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 2))
ax.set_title("Original Chirp Signal")
ax.plot(chirp_signal)
plt.show()
data = chirp_signal
waveletname = 'haar'
fig, axarr = plt.subplots(nrows=5, ncols=2, figsize=(8, 6))
for ii in range(5):
(data, coeff_d) = pywt.dwt(data, waveletname)
axarr[ii, 0].plot(data, 'r')
axarr[ii, 1].plot(coeff_d, 'g')
axarr[ii, 0].set_ylabel("Level {}".format(ii + 1), fontsize=14, rotation=90)
axarr[ii, 0].set_yticklabels([])
if ii == 0:
axarr[ii, 0].set_title("Approximation coefficients", fontsize=14)
axarr[ii, 1].set_title("Detail coefficients", fontsize=14)
axarr[ii, 1].set_yticklabels([])
plt.tight_layout()
plt.show()
例程 17_5：图像的 Haar 小波分解
对二维图像进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。
import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
from pywt._doc_utils import wavedec2_keys, draw_2d_wp_basis
if __name__ == '__main__':
# (5) 图像的 Haar 小波分解
x = pywt.data.camera().astype(np.float32)
shape = x.shape
max_lev = 3 # 要绘制多少级分解
label_levels = 3 # 图上要显式标注多少层
fig, axes = plt.subplots(2, 4, figsize=[14, 8])
for level in range(0, max_lev + 1):
if level == 0:
# 显示原始图像
axes[0, 0].set_axis_off()
axes[1, 0].imshow(x, cmap=plt.cm.gray)
axes[1, 0].set_title('Image')
axes[1, 0].set_axis_off()
continue
# 绘制标准DWT基的子带边界
draw_2d_wp_basis(shape, wavedec2_keys(level), ax=axes[0, level], label_levels=label_levels)
axes[0, level].set_title('{} level\ndecomposition'.format(level))
# 计算二维 DWT
c = pywt.wavedec2(x, 'haar', mode='periodization', level=level)
# 独立规范化每个系数数组以获得更好的可见性
c[0] /= np.abs(c[0]).max()
for detail_level in range(level):
c[detail_level + 1] = [d / np.abs(d).max() for d in c[detail_level + 1]]
# 显示归一化系数 (normalized coefficients)
arr, slices = pywt.coeffs_to_array(c)
axes[1, level].imshow(arr, cmap=plt.cm.gray)
axes[1, level].set_title('Coefficients\n({} level)'.format(level))
axes[1, level].set_axis_off()
plt.tight_layout()
plt.show()
2.2 小波变换在图像处理中的应用
小波变换在图像处理中的应用与傅里叶变换类似，基本方法是：
（1）计算一幅图像的二维小波变换，并得到小波系数
（2）对小波系数进行修改，保留有效成分，过滤不必要成分
（3）使用修改后的小波系数进行图像重建
基于小波变换的图像去噪步骤：
（1）图像小波变换。选择一个小波，计算噪声图像的小波系数。
（2）对细节系数通过阈值进行过滤。选择一个细节系数阈值，并对所有细节系数进行阈值化操作。
（3）基于阈值化过滤后的细节系数及原始近似系数，使用小波变换对图像进行重建。
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