《高等数学》：推导第七版下册第十章第四节的“利用曲面的参数方程求曲面的面积“-Toy模板网

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要推导的公式

如果曲面 $\,S\,$ 由参数方程： $\begin{cases}x=x(u,v), \\ y=y(u,v), \\ z=z(u,v)\end{cases} \quad (u,v) \in D\quad$ 给出，其中 $\,D\,$ 是一个平面有界闭区域，又 $\,x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\,$ 在 $\,D\,$ 上具有连续的一阶偏导数，且 $\,\begin{aligned}\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,,\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,,\,\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\end{aligned}\,$ 不全为零，则曲面 $\,D\,$ 的面积为 $\begin{aligned} &A=\iint_{D}\sqrt{EG-F^2}\,dudv \,,\\ &E = x_u^2+y_u^2+z_u^2 \\ &F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v \\ &G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{aligned}$

推导方法一

已知

若曲面 $\,S\,$ 由方程 $\,z=f(x,y)\,$ 给出， $\,D\,$ 为曲面 $\,S\,$ 在 $\,xOy\,$ 面上的投影区域，函数 $\,f(x,y)\,$ 在 $\,D\,$ 上具有连续偏导数 $f_x(x,y)\,$ 和 $f_y(x,y)\,$ ，则曲面面积的公式为：
$A=\iint_{\sum}dS=\begin{aligned}\iint_{D}\sqrt{1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^2+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^2}\,dxdy\end{aligned}$

结合第十章第三节的二重积分换元法，可知：

设 $\,f(x,y)=\sqrt{1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^2+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^2}\,$ ，将 $\,x=x(u,v)\,,\,y=y(u,v)\,,\,z=z(u,v)\,$ 代入，若能表示为 $\,u,v\,$ 的函数 $\,g(u,v)\,$ ，即 $\,f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))=g(u,v)\,$ ，则曲面面积公式等于： $\,A=\iint_{\sum}dS=\iint_{D'}g(u,v)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|\,dudv\,$
其中 $D_1\,$ 是 $\,D\,$ 一对一映射到 $\,uOv\,$ 平面上的闭区域。

又由第九章第四节的多元复合函数的求导法则的"多元函数与多元函数复合的情形"，得：

$\begin{aligned}&\dfrac{\partial z}{\partial u}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u} \\&\dfrac{\partial z}{\partial v}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{aligned}$
简记为：
$\begin{aligned}&z_u=z_xx_u+z_yy_u\\&z_v=z_xx_v+z_yy_v\end{aligned}$

将 $z_x\,,\,z_y\,$ 看作变量，其余为常数，由线性代数的克拉默法则以及行列式转置值不变的性质，得：
$z_x=\dfrac{\begin{vmatrix} z_u & y_u \\ z_v & y_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & y_u \\ x_v & y_v \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{\begin{vmatrix} z_u & z_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}} \\ \, \\ z_y=\dfrac{\begin{vmatrix} x_u & z_u \\ x_v & z_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & y_u \\ x_v & y_v \\ \end{vmatrix}}=\dfrac{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ z_u & z_v \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}}$

则：
$\quad \begin{aligned} g(u,v)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| &= f(x,y)|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}| \\ &=\sqrt{\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_u & z_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ z_u & z_v \\ \end{vmatrix}^2} \\ &= \sqrt{EG-F^2}\end{aligned}$

推导成功。当然推导成功的前提是 $\,\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}\,$ 不为零，如果为零，可转换到 $\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,$ 的情形，如果这也为零，则最后转换到 $\,\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,$ 的情形。三者不能全为零。

推导方法二

由第十一章第五节的第三部分"两类曲面积分之间的联系"，可知：

曲面 $\,dS\,$ 与 $\,z\,$ 轴方向相同的法向量的方向余弦为：
$\cos\alpha = \dfrac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,,\,\cos\beta=\dfrac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,,\,\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,$
其中 $\,dS\,$ 与面积元 $\,dydz\,,\,dzdx\,,\,dxdy\,$ 之间的关系为：
$dydz=\cos\alpha\,dS\,,\,dzdx=\cos\beta\,dS\,,\,dxdy=\cos\gamma\,dS\,$
由此可得： $\,dS=\sqrt{(dydz)^2+(dzdx)^2+(dxdy)^2}\,$

又由二重积分的换元法可知：

$dydz=|\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|dudv \\ dzdx=|\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}|dudv \\ dxdy=|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv$

代入上式即得：

$dS=\sqrt{|\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|^2+|\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}|^2+|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|^2}\,dudv= \sqrt{EG-F^2}\,dudv$