最小生成树的性质及证明

性质一：设边$(u，v)$是图$G=(V,E)$中权重最小的边，则$(u，v)$属于$G$的某棵最小生成树。

证明①：（应用定理23.1）
设$A$数某个最小生成树边的子集，且$A$不包含$(u，v)$。
$(u，v)$是横跨割$(u,V-u)$的轻边且割尊重集合$A$，因此$(u，v)$对于集合$A$是安全的，$(u，v)$属于一棵最小生成树。

证明②：
设$T$任意一个最小生成树，且$(u,v)\notin T$，则$T+(u,v)$中包含一个环。设$f$是环上的另一条边，则$T+(u,v)-f$是另一个MST，且包含$(u，v)$。

性质二：设$T$是图$G$的最小生成树，设$L$是$T$中边权重值构成的有序列表，$T^{\prime }$是其他的最小生成树，则有$L$也是$T^{\prime }$中边权重值构成的有序列表。

性质三：设$T$是图$G$的最小生成树，$T^{\prime }$是任意一棵生成树，将所有边以非递减的次序排列，即$w(e_1)\le w(e_2)\le ...\le w(e_{n-1})$，$w(e_1^{\prime })\le w(e_2^{\prime })\le ...\le w(e_{n-1}^{\prime })$，则对于$1\le i\le n-1$，有$w(e_i)\le w(e_i^{\prime })$.

性质二可以应用两次性质三推出。

反证法证明性质三：
不失一般性，假设存在$i\ge 1$，有$w(e_1)\le w(e_1^{\prime })$，$w(e_2)\le w(e_2^{\prime })$，…，$w(e_{i-1})\le w(e_{i-1}^{\prime })$，但$w(e_i)>w(e_i^{\prime })$，
因此，$w(e_{n-1})\ge w(e_{n-2})\ge ...w(e_i)>w(e_i^{\prime })\ge w(e_{i-1}^{\prime })\ge w(e_{i-2}^{\prime })\ge ..\ge w(e_1^{\prime })$。

将任一条边 e x ′ ∈ { e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } e_x'\in\{e_1',e_2',...e_i'\} ex′​∈{e1′​,e2′​,...ei′​}加到$T$中，形成一个环，所有边均在 { e x ′ , e 1 , e 2 , . . . e i } \{e_x',e_1,e_2,...e_i\} {ex′​,e1​,e2​,...ei​}中，因为$T$是MST，所以新加上的边一定是环上最大的，环上的其他边只能来自 { e 1 , e 2 , . . . e i } \{e_1,e_2,...e_i\} {e1​,e2​,...ei​}。

删掉 { e i , . . . e n − 1 } \{e_i,...e_{n-1}\} {ei​,...en−1​}，剩下的边会形成多个连通分支，并将所有 e x ′ ∈ { e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } e_x'\in\{e_1',e_2',...e_i'\} ex′​∈{e1′​,e2′​,...ei′​}加到$T$中，每个$e_x^{\prime }$的两端点均在同一个分支中，不改变之前的连通性，因此 { e 1 , e 2 , . . . e i − 1 , e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } \{e_1,e_2,...e_{i-1},e_1',e_2',...e_i'\} {e1​,e2​,...ei−1​,e1′​,e2′​,...ei′​}，和 { e 1 , e 2 , . . . e i − 1 } \{e_1,e_2,...e_{i-1}\} {e1​,e2​,...ei−1​}一样有$(n-i+1)$个连通分支，但是 { e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } \{e_1',e_2',...e_i'\} {e1′​,e2′​,...ei′​}是树中的边，至多形成$(n-i)$个连通分支，前者拥有更多的边却形成更多的连通分支，矛盾！

（最后一部分也可以相对量化地论述）
{ e 1 , e 2 , . . . e i − 1 } \{e_1,e_2,...e_{i-1}\} {e1​,e2​,...ei−1​}形成$(n-i+1)$个连通分支，设其中$k$个是有边的，包含顶点数为$v_i$，则$(v_1-1)+(v_2-1)+...+(v_k-1)=i-1$，令$d_i$为 { e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } \{e_1',e_2',...e_i'\} {e1′​,e2′​,...ei′​}在每个连通分支中加的边数，有$d_1+d_2+...+d_k=i$，根据鸽巢原理，存在$d_j\ge (v_j-1)+1=v_j$，$d_j$在的连通分支中一定存在由 { e 1 ′ , e 2 ′ , . . . e i ′ } \{e_1',e_2',...e_i'\} {e1′​,e2′​,...ei′​}的子集构成的环，这和它是树的边集合相矛盾。

命题得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-454954.html

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