彻底搞明白概率论:随机事件,样本空间,必然事件,不可能事件

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参考视频

样本空间

随机试验E的一切可能基本结果(或实验过程如取法或分配法)组成的集合称为E的样本空间,记为S

  • 注意,对于不同的实验,样本空间是不同的,比如用硬币做的所有实验,由于观察的角度和目的不同其样本空间也是不同的,从下面的例子来看:
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    • 虽然硬币只有 Head 和 Tail 两个面, 但是由于观察的不同,第二个实验和第一个实验的样本空间完全不同

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样本点

  • 样本空间中的每一个元素都称为一个样本点,例如第一个例子中的 H, T;第二个例子中的 HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, TTH, THT, THH 都是样本点

随机事件,必然事件,不可能事件

  • 比如现在进行一个随机试验,观察骰子的点数:
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  • 在这个随机实验中,样本空间是 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } S=\{1,2,3,4,5,6\} S={1,2,3,4,5,6}

  • 但是如果我关系其中的一部分值,例如我只关心偶数的情况,那么这就产生了 随机事件
    A = { 2 , 4 , 6 } A=\{2,4,6\} A={2,4,6}

  • 为什么叫 随机事件 呢,因为对于 S S S 来说,我们选的 A A A 不可能 100% 发生,因为骰子点数是偶数这个事件发生概率不是 100% 所以叫做 随机事件。换句话就是因为 A A A 是 样本空间 S S S 的一个真子集

  • 那假设一个事件 B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = S B=\{1,2,3,4,5,6\}=S B={1,2,3,4,5,6}=S 那我们把 B B B 称作必然事件,因为无论发生什么情况,只要这个情况在样本空间 S S S 中,一定都包含在 B B B 中。因此,样本空间 S S S 也是天然的 必然事件

  • 同样地, ∅ \empty 被称为不可能事件,因为其中没有任何元素。

有人可能这里有点思维惯性,有如下疑问:

  • 集合怎么能称为 事件呢,我们认为的事件好像是 单个事情,而不应该是一个集合
  • 为什么集合中的 单个事件 发生就代表这个集合的事件发生呢?
  • 这个地方做个解释:

    • 集合中如果有多个元素,那么:
      • 每个元素称为一个集合的 基本事件:就比如骰子的点数样本空间 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } S=\{1,2,3,4,5,6\} S={1,2,3,4,5,6}
      • S S S 的一个随机事件:骰子的点数是偶数 A = { 2 , 4 , 6 } A=\{2,4,6\} A={2,4,6}这个随机事件的一个基本事件(元素 / 样本点):骰子点数是 6, X = { 6 } X=\{6\} X={6}
      • 因为 A A A 这个事件包含了所有 2 , 4 , 6 2,4,6 2,4,6 的基本事件,所以 A A A可以称为:骰子数字为偶数,这个概括的事件,所以这就是为什么我们把集合也定义成 事件 了。
    • 第二个问题就更简单了,比如 骰子数字为6 这个基本事件发生了,那么 A A A 这个事件肯定就发生了呀,因为这代表 骰子的数字确实是个偶数。所以只要一个事件中的某个基本事件发生,这个事件就发生。这也是为什么我们说 样本空间 这个最大的事件一定是个必然事件,因为无论 A A A 或者其他事件中的任何基本事件发生, S S S 样本空间这个事件就一定发生。
  • 如果你还不明白,就这么理解:

    • 现在有一个事件 写 作 业 = { 写 语 文 , 写 数 学 , 写 英 语 } 写作业=\{写语文,写数学,写英语\} ={} 那我问你,写数学的时候是不是 写 作 业 写作业 这个事件发生了。当然是啊,而写作业只不过是个更加概括的描述罢了。
  • 这里补充一个概念(这个概念在上面已经多次提到,但是没有给明确定义)——事件发生:指的是某个事件(集合)中的一个元素 / 样本点 / 基本事件出现,这个事件就发生。

  • 随机事件举例:
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