[电路]14-叠加定理和齐性定理-Toy模板网

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[电路]系列文章目录

1-发出功率和吸收功率关系
2-独立源和受控源
3-基尔霍夫定律
4-两端电路等效变换、电阻串并联
5-电压源、电流源的串联和并联
6-电阻的星形连接和角形连接等效变换（星角变换）
7-实际电源模型和等效变换
8-无源一端口网络输入电阻
9-电路的图及相关概念
10-支路电流法
11-网孔电流法
12-回路电流法
13-结点电压法
14-叠加定理和齐性定理

一、叠加定理

1 定义

在线性电路中，任一支路的电流或电压可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流或电压的代数和。

2 图示说明

[电路]14-叠加定理和齐性定理
说明：
上述电路中包含三个独立电源共同作用，分别是独立电流源 $i_{s1}$ ，独立电压源 $u_{s2}、u_{s3}$ ，下面为电压源和电流源单独作用时的分电路，所求变量的实际值为以下分电路中计算的结果求代数和。
分电路：

$i_{s1}$ 单独作用：
$u_{s2}$ 单独作用：
$u_{s3}$ 单独作用：

3 特殊说明

叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。
在叠加的各分电路中，一个电源作用，其余电源为零。
不作用的电压源置零处用短路代替，不作用的电流源处用开路代替。
电路中所有电阻都不变，保留在各分路中。
u, i 叠加时要注意各分量的参考方向。
原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积，为电源的二次函数，与激励不成线性关系。
含受控源（线性）电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。

4 例题

题目：
求电压源的电流及功率。
[电路]14-叠加定理和齐性定理
解答：

画出电流源与电压源分别作用时的分电路图，如图（a）、（b）所示。
图（a）：电流源单独作用

图（b）：电压源单独作用
对于图（a），四个电阻组成电桥电路，四个电阻参数满足如下公式：
$4\times 5 = 2\times 10$ 可得该电桥为平衡电桥，因此对角线无电流流过，即：
$I_1 = 0$
对于图（b），4Ω 与 10Ω 串联为14Ω，2Ω 与 5Ω 串联为 7Ω，通过 70V 电压源作用可计算分电路电流。
$I_2=\frac {70}{14} + \frac {70}{7} = 15A$
应用叠加定理，计算电压源的电流。
$I=I_1 + I_2 = 0 + 15 = 15A$
计算电压源的功率。
$P_{70V}=U\times I = 70\times 15 = 1050W$

二、齐性定理

1 定义

线性电路中，所有激励（电压源和电流源）)都同时增大或减小 K 倍（K 为实常数）时，则电路中响应（电压或电流）也将同样增大或减小 K 倍。

2 特殊说明

激励是指独立电源。
必须全部激励同时增大或缩小 K 倍，否则将导致错误的结果。
当电路中只有一个激励时，响应必与该激励成正比。
具有可加性。
齐性定理分析梯形电路有效。

3 例题

题目：
$R_L=2\Omega, \ R_1=R_2=1\Omega, \ u_s=51V，求电流 i 。$
[电路]14-叠加定理和齐性定理
思路：
本题采用“倒推法”求解，最后按照齐性定理进行修正。
“倒推法”：从梯形电路最远离电源的一端开始，倒退至激励处。
解答：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-455911.html

为电流 i 设一便于计算的值：
$i^{'} = 1 A$
从最远离电源端的电流开始，回推各支路电流、电压。
$\begin{cases}i' = 1A\\ u'_{CD}=R_{L}\cdot i'=2V\\ i'_6 = \frac{u'_{CD}}{R_2}=2A \\ i'_5=i'_6+i'=3A\\ u'_{BE}=R_{1}\cdot i'_5 + u'_{CD}=5V\\ i'_4 = \frac{u'_{BE}}{R_2}=5A \\ i'_3=i'_4+i'_5=8A\\ u'_{AF}=R_{1}\cdot i'_3 + u'_{BE}=13V\\ i'_2 = \frac{u'_{AF}}{R_2}=13A \\ i'_1=i'_2+i'_3=21A\\ u'_{s}=R_{1}\cdot i'_1 + u'_{AF}=34V\end{cases}$
现给定 $u_s=51V$ ，相当于将以上激励 $u'_s$ 增至 $\frac {51}{34}$ 倍，即：
$K=\frac {51}{34}=1.5$
各支路电流应同时增至 1.5 倍，即
$i=Ki'=1.5\times 1=1.5A$