实对称矩阵的奇异值等于特征值
首先，来看一下什么叫作矩阵的奇异值，根据课本上的定义1
定理1： 实对称矩阵的奇异值等于其特征值.
证明： 对于实对称矩阵
A
A
A, 其特征值为
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n
λ1,λ2,...,λn. 由某个定理可知（自己查找一下），
A
2
A^2
A2的特征值为
λ
1
2
,
λ
2
2
,
.
.
.
,
λ
n
2
\lambda_1^2,\lambda_2^2,...,\lambda_n^2
λ12,λ22,...,λn2. 根据实对称矩阵的性质，
A
H
A
=
A
2
A^HA=A^2
AHA=A2. 定理，得证.
实对称矩阵的SVD分解
定理2： 实对称矩阵SVD分解的左右奇异向量相等.
证明： 对于实对称矩阵
A
A
A, 其特征值为
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n
λ1,λ2,...,λn，根据定理1, 也是其奇异值. 对应的单位化后的特征向量为
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
u_1,u_2,...,u_n
u1,u2,...,un. 那么有,
A
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
=
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
)
A[u_1,u_2,...,u_n]=[u_1,u_2,...,u_n]diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
A[u1,u2,...,un]=[u1,u2,...,un]diag(λ1,λ2,...,λn). 令
U
=
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
n
]
,
Σ
=
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
.
.
.
,
λ
n
)
U=[u_1,u_2,...,u_n], \Sigma=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)
U=[u1,u2,...,un],Σ=diag(λ1,λ2,...,λn), 则
A
U
=
U
Σ
AU=U\Sigma
AU=UΣ, 且
U
H
U
=
I
U^HU=I
UHU=I是酉矩阵，那么
A
=
U
Σ
U
H
A=U\Sigma U^H
A=UΣUH, 定理得证.
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矩阵论简明教程，徐仲 ↩︎文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-456977.html
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