3.5 基,维数与坐标
\quad 本节,继续研究线性空间的结构。一般地,设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。
\quad 首先,我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。
对比其它高等代数教程,邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起!
定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关:
(1)
V
V
V 的一个有限子集
{
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}
{α1,α2,⋯,αs} 线性相关
:
⟺
:\Longleftrightarrow
:⟺ 向量组
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,α2,⋯,αs 线性相关;
(2)
V
V
V 的一个有限子集
{
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}
{α1,α2,⋯,αs} 线性无关
:
⟺
:\Longleftrightarrow
:⟺ 向量组
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,α2,⋯,αs 线性无关;
(3)
V
V
V 的一个无限子集
S
S
S 线性相关
:
⟺
:\Longleftrightarrow
:⟺ 存在
S
S
S 的一个有限子集线性相关;
(4)
V
V
V 的一个无限子集
S
S
S 线性无关
:
⟺
:\Longleftrightarrow
:⟺
S
S
S 的任一个有限子集都线性无关。
例 1:平面 π \pi π 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。
定义 2. 极大线性无关集与基:设
V
V
V 是数域
K
K
K 上的一个线性空间。
V
V
V 的一个子集
S
S
S 如果满足:
(1)
S
S
S 是线性无关的;
(2)对于
∀
β
∈
V
\
S
\forall ~ \boldsymbol{\beta} \in V \backslash S
∀ β∈V\S(如果还有的话),有
S
∪
{
β
}
S \cup \{\boldsymbol{\beta}\}
S∪{β} 线性相关,
则称
S
S
S 为
V
V
V 的一个 极大线性无关集。
\quad 可以看到,“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了,不过我们需要排除一些意外情况,比如 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}.
\quad 由 前一节 的讨论,我们知道 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 是线性相关的,因此,若 V ≠ { 0 } V \ne \{\boldsymbol{0}\} V={0},则称 V V V 的一个极大线性无关集为 V V V 的一个 基。
\quad
如果将上述定义推广到
V
=
{
0
}
V =\{\boldsymbol{0}\}
V={0} 的情形,则需要做一些规定:空集
ϕ
\phi
ϕ 是线性无关的。之后再进行分析:若
V
=
{
0
}
V =\{\boldsymbol{0}\}
V={0},由于
(1)
ϕ
\phi
ϕ 是线性无关的;
(2)对于
0
∈
V
\
ϕ
\boldsymbol{0} \in V \backslash \phi
0∈V\ϕ,有
ϕ
∪
{
0
}
=
{
0
}
\phi \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\}
ϕ∪{0}={0} 线性相关,
由 定义 2
,
ϕ
\phi
ϕ 是
{
0
}
\{\boldsymbol{0}\}
{0} 的一个极大线性无关集,此时,我们称
ϕ
\phi
ϕ 是
V
V
V 的一个基。
- 简单来讲,若规定“空集是线性无关的”,则线性空间的一个极大线性无关集,就是其的一个基。
定义 2
是合理的,但我们一般不会采用这个定义,因为这个定义比较抽象,不太直观。
定义 3. 基:设
V
V
V 是数域
K
K
K 上的一个线性空间。
V
V
V 的一个子集
S
S
S 若满足:
(1)
S
S
S 是线性无关的;
(2)
V
V
V 中的任一向量可由
S
S
S 中的有限多个向量线性表出,
则称
S
S
S 是
V
V
V 的一个 基。
\quad
另外,
(1)若
S
=
{
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
r
}
S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\}
S={α1,α2,⋯,αr}(即
S
S
S 为有限集),也称向量组
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
r
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}
α1,α2,⋯,αr 是
V
V
V 的一个(有序)基;
(2)规定:
ϕ
\phi
ϕ 是线性无关的;
(3)规定:线性空间
{
0
}
\{\boldsymbol{0}\}
{0} 的一个基是
ϕ
\phi
ϕ。
\quad 相较于
定义 2
,在定义 3
的基础上,只能规定"线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ",而由定义 2 是可以直接推出的。
\quad
现在思考一个问题:是否任一个线性空间都有基?答案是肯定的,详情请参见 高等代数——大学创新教材(下册)
P
158
∼
P
159
P_{158}\sim P_{159}
P158∼P159。
定义 4. 有限维与无限维:
(1)若
V
V
V 有一个基是
V
V
V 的有限子集,则称
V
V
V 是 有限维的;
(2)若
V
V
V 有一个基是
V
V
V 的无限子集,则称
V
V
V 是 无限维的。
定理 1:若 V V V 是有限维的,则 V V V 的任意两个基所含个数相等。
证明:
\quad 一般地,设向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基,任取 V V V 的另一个基 S S S,
(1)若 S S S 所含的向量个数 > n >n >n,则在 S S S 中至少可取 n + 1 n+1 n+1 个向量 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,⋯,βn+1。显然,向量组 { β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}\} {β1,β2,⋯,βn+1} 可由向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性表出,由于 n + 1 > n n+1>n n+1>n,因此 β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,⋯,βn+1 线性相关,从而产生矛盾。
(2)设 S S S 中所含向量的个数 ≤ n \le n ≤n,不妨设为 m m m。显然有
{ α 1 , α 2 , ⋯ , α n } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β m } , \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1,α2,⋯,αn}≅{β1,β2,⋯,βm},
等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等,因此 m = n m=n m=n.
#
推论:若 V V V 是无限维的,则 V V V 的任意一个基都是无限维的。
定义 5. 维数:
(1)若
V
V
V 是有限维的,则称
V
V
V 的一个基所含向量的个数为
V
V
V 的 维数。记作:
dim
V
\dim V
dimV。
(2)若
V
V
V 是无限维的,则将
V
V
V 的维数记作
dim
V
=
∞
\dim V = \infty
dimV=∞。
(3)若
V
=
{
0
}
V = \{\boldsymbol{0}\}
V={0},则
dim
V
=
0
\dim V = 0
dimV=0。
命题 1:设 V V V 是 n n n 维的,则 V V V 中任意 n + 1 n+1 n+1 个向量都线性相关。
命题 2:设 dim V = n \dim V = n dimV=n, S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} S={α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基,则 V V V 中任一向量 α = a 1 α 1 + ⋯ + a n α n \boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} α=a1α1+⋯+anαn 的表出方式唯一。
定义 6. 坐标:设
dim
V
=
n
\dim V = n
dimV=n,
{
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
n
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}
{α1,α2,⋯,αn} 是
V
V
V 的一个基,向量
α
=
a
1
α
1
+
⋯
+
a
n
α
n
∈
V
\boldsymbol{\alpha} = a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots + a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} \in V
α=a1α1+⋯+anαn∈V,则称
α
\boldsymbol{\alpha}
α 的 坐标 为:
(
a
1
a
2
⋮
a
n
)
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1\\ \boldsymbol{a}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n\\ \end{array} \right)
a1a2⋮an
命题 3:设 dim V = n \dim V = n dimV=n,则 V V V 中任意 n n n 个线性无关的向量都是 V V V 的一个基。
命题 4:设 dim V = n \dim V = n dimV=n,若 V V V 中任一向量可由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 线性表出,则集合 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基。
命题 5:设 dim V = n \dim V = n dimV=n,则 V V V 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 V V V 的一个基。
命题 6:设 dim V = n \dim V = n dimV=n, W W W 是 V V V 的一个子空间,则 dim W ≤ dim V \dim W \le \dim V dimW≤dimV。
命题 7:向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 的一个极大线性无关组是 < α 1 , α 2 , ⋯ , α n > <\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}> <α1,α2,⋯,αn> 的一个基。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-458533.html
命题 8:关于向量组的生成子空间,我们有:
(
<
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
>
=
<
β
1
,
β
2
,
⋯
,
β
t
>
)
⟺
(
{
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
}
≅
{
β
1
,
β
2
,
⋯
,
β
t
}
)
\left( <\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s>=<\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t> \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right)
(<α1,α2,⋯,αs>=<β1,β2,⋯,βt>)⟺({α1,α2,⋯,αs}≅{β1,β2,⋯,βt})文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-458533.html
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