1）两个向量间的投影
如果两个向量垂直，那么满足。但如果两个向量不垂直，我们就将 b 投影到 a 上，就得到了二者的距离，我们也称为向量 b 到直线 a 的误差。这样就有出现了垂直：
（1）
投影向量 p 在直线上，不妨假设 ，那么误差 。带入式（1）中得到：
投影矩阵：
投影矩阵有两个基本性质。
性质一： （投影矩阵为对称矩阵）；
性质二： （两次投影结果相同），具体证明直接代公式。
2）向量与平面的投影
如下图所示，有向量 b ，和由向量 a1、a2 线性组合成的列空间（平面）。将向量 b 投影到平面上得到：，下面求解投影矩阵 。
求解步骤和上面一样，只是由直线变为了平面空间，以前假设 ，现在假设：
同理：
又向量 e 垂直于平面，所以：
因为可逆且对称（证明在附录2），所以：
同样的有、
其实，投影就是将向量分解为两部分，一部分(p)投影到矩阵A的列空间中，另一部分(e)投影到了左零空间。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-459346.html
参考：《Liear Algebra And Its Application》Gilbert Strang文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-459346.html
附录一：
附录二 ：
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